Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en extracciones de urnas

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color?** Primero, definimos los sucesos para mayor claridad: - $W_1$: extraer bola blanca en la 1ª extracción. - $B_1$: extraer bola negra en la 1ª extracción. - $W_2$: extraer bola blanca en la 2ª extracción. - $B_2$: extraer bola negra en la 2ª extracción. Analizamos la composición de la urna tras la primera extracción: 1. Si sale $W_1$ (probabilidad $2/6 = 1/3$): se devuelve y se añade otra blanca. La urna ahora tiene **3 blancas y 4 negras** (7 bolas). 2. Si sale $B_1$ (probabilidad $4/6 = 2/3$): no se devuelve. La urna ahora tiene **2 blancas y 3 negras** (5 bolas). Representamos esto en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Presta mucha atención a cómo cambia el número total de bolas. Si añades una bola, el denominador pasa de 6 a 7; si no devuelves la extraída, pasa de 6 a 5.

Para que las bolas sean de distinto color, tenemos dos caminos posibles: que la primera sea blanca y la segunda negra ($W_1 \cap B_2$), o que la primera sea negra y la segunda blanca ($B_1 \cap W_2$). Calculamos la probabilidad total sumando ambas ramas: $$P(\text{Distinto color}) = P(W_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap W_2)$$ $$P(\text{Distinto color}) = P(W_1) \cdot P(B_2 | W_1) + P(B_1) \cdot P(W_2 | B_1)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\text{Distinto color}) = \left( \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{7} \right) + \left( \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \right)$$ $$P(\text{Distinto color}) = \frac{8}{42} + \frac{8}{30} = \frac{4}{21} + \frac{4}{15}$$ Para sumar las fracciones buscamos el mínimo común múltiplo de $21$ y $15$, que es $105$: $$P(\text{Distinto color}) = \frac{4 \cdot 5}{105} + \frac{4 \cdot 7}{105} = \frac{20}{105} + \frac{28}{105} = \frac{48}{105}$$ Simplificamos dividiendo entre 3: $$\frac{48}{105} = \frac{16}{35} \approx 0.4571$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Distinto color}) = \dfrac{16}{35}}$$

**b) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra, sabiendo que la segunda ha sido blanca?** Estamos ante una **probabilidad a posteriori**, por lo que usaremos el Teorema de Bayes. Primero necesitamos calcular la probabilidad total de que la segunda bola sea blanca, $P(W_2)$. Por el Teorema de la Probabilidad Total: $$P(W_2) = P(W_1 \cap W_2) + P(B_1 \cap W_2)$$ $$P(W_2) = P(W_1) \cdot P(W_2 | W_1) + P(B_1) \cdot P(W_2 | B_1)$$ Sustituimos los valores: $$P(W_2) = \left( \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{7} \right) + \left( \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \right)$$ $$P(W_2) = \frac{6}{42} + \frac{8}{30} = \frac{1}{7} + \frac{4}{15}$$ Operamos con el denominador común $105$: $$P(W_2) = \frac{15}{105} + \frac{28}{105} = \frac{43}{105}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todos los caminos del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, que la segunda bola sea blanca).

Queremos hallar $P(B_1 | W_2)$. Aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(B_1 | W_2) = \frac{P(B_1 \cap W_2)}{P(W_2)}$$ Ya tenemos ambos valores de los pasos anteriores: - $P(B_1 \cap W_2) = \frac{28}{105}$ (obtenido en el cálculo de la probabilidad de distinto color). - $P(W_2) = \frac{43}{105}$. Sustituimos: $$P(B_1 | W_2) = \frac{\frac{28}{105}}{\frac{43}{105}} = \frac{28}{43} \approx 0.6512$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de Bayes siempre es $\frac{\text{probabilidad de la rama específica}}{\text{probabilidad total del suceso final}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B_1 | W_2) = \dfrac{28}{43}}$$