Geometría en el espacio: Ángulos, distancias y posiciones relativas

Para resolver los apartados, primero extraemos la información básica de la recta $r$ y el plano $\pi$. La recta $r$ está dada en su forma continua: $x - 1 = y + 1 = \frac{z - 2}{2}$. De aquí obtenemos: - Un punto de la recta: $P_r(1, -1, 2)$. - El vector director de la recta: $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$. El plano $\pi \equiv x + y - z = 6$ tiene como vector normal: - $\vec{n_\pi} = (1, 1, -1)$. 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el vector director es $(v_x, v_y, v_z)$ y el punto es $(x_0, y_0, z_0)$.

**a) (0.75 puntos) Hallar el ángulo que forman el plano $\pi$ y el plano perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $A$.** Sea $\alpha$ el plano perpendicular a la recta $r$. Por definición, el vector director de la recta $r$, $\vec{v_r}$, será el vector normal del plano $\alpha$. Por tanto: $$\vec{n_\alpha} = \vec{v_r} = (1, 1, 2)$$ El ángulo $\theta$ entre dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales. Usamos la fórmula del producto escalar: $$\cos(\theta) = \frac{|\vec{n_\pi} \cdot \vec{n_\alpha}|}{\|\vec{n_\pi}\| \cdot \|\vec{n_\alpha}\|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: - $\vec{n_\pi} \cdot \vec{n_\alpha} = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(2) = 1 + 1 - 2 = 0$ - $\|\vec{n_\pi}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ - $\|\vec{n_\alpha}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ Sustituyendo: $$\cos(\theta) = \frac{|0|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = 0 \implies \theta = 90^\circ$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar de los vectores normales es cero, los vectores son perpendiculares y, por tanto, los planos también lo son. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\theta = 90^\circ \text{ o } \frac{\pi}{2} \text{ rad}}$$

**b) (0.75 puntos) Determinar la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$.** Para calcular la distancia entre una recta y un plano, primero debemos conocer su posición relativa. Analizamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v_r}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, 1, 2) \cdot (1, 1, -1) = 1 + 1 - 2 = 0$$ Como el producto escalar es 0, la recta $r$ es **paralela** al plano $\pi$ o está **contenida** en él. Comprobamos si el punto $P_r(1, -1, 2)$ pertenece al plano $\pi$: $$1 + (-1) - 2 = -2 \neq 6$$ Como el punto no cumple la ecuación del plano, la recta es estrictamente **paralela** al plano. 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$.

Calculamos la distancia del punto $P_r(1, -1, 2)$ al plano $\pi \equiv x + y - z - 6 = 0$ usando la fórmula: $$d(P_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, \pi) = \frac{|1(1) + 1(-1) - 1(2) - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 1 - 2 - 6|}{\sqrt{3}} = \frac{|-8|}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{8\sqrt{3}}{3}}$$

**c) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por $A$, forma un ángulo recto con la recta $r$ y no corta al plano $\pi$.** Sea $s$ la recta buscada con vector director $\vec{v_s}$. Se deben cumplir tres condiciones: 1. Pasa por $A(1, 0, -1)$. 2. Es perpendicular a $r \implies \vec{v_s} \perp \vec{v_r}$. 3. No corta al plano $\pi$. Como $A \notin \pi$ (pues $1 + 0 - (-1) = 2 \neq 6$), para que no lo corte, la recta debe ser paralela al plano $\implies \vec{v_s} \perp \vec{n_\pi}$. Por tanto, el vector $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$ y a $\vec{n_\pi} = (1, 1, -1)$. Lo calculamos mediante el **producto vectorial**: $$\vec{v_s} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{v_s} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_s} = (-1 - 2)\mathbf{i} - (-1 - 2)\mathbf{j} + (1 - 1)\mathbf{k} = -3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-3, 3, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 3: $\vec{v_s} = (-1, 1, 0)$.

Con el punto $A(1, 0, -1)$ y el vector director $\vec{v_s} = (-1, 1, 0)$, escribimos la ecuación de la recta $s$ en su forma paramétrica: $$s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al obtenido mediante el producto vectorial es válido como vector director de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 \end{cases}}$$