Límites e integrales (L'Hôpital, cambio de variable e integración por partes)

**a.1) (0.5 puntos) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 - 2x)}{x - 2x^2 - \text{sen } x}$** Primero evaluamos el límite directamente para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2x^3}{x - 2x^2 - \text{sen } x} = \frac{0^2 - 0}{0 - 0 - \text{sen } 0} = \frac{0}{0}$$ Como tenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x - 6x^2}{1 - 4x - \cos x}$$ Al evaluar de nuevo en $x = 0$: $$\frac{2(0) - 6(0)^2}{1 - 4(0) - \cos 0} = \frac{0}{1 - 0 - 1} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital una segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 12x}{-4 + \text{sen } x}$$ Evaluamos finalmente: $$\frac{2 - 12(0)}{-4 + \text{sen } 0} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista. ✅ **Resultado:** $$\boxed{-\dfrac{1}{2}}$$

**a.2) (0.75 puntos) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \left( \frac{3}{x} - \frac{2}{\text{sen } \frac{1}{x}} \right)$** Siguiendo la indicación, realizamos el cambio de variable $t = \frac{1}{x}$. Cuando $x \to \infty$, entonces $t \to 0$. Sustituimos en la expresión: $$\lim_{t \to 0} t \left( 3t - \frac{2}{\text{sen } t} \right) = \lim_{t \to 0} \left( 3t^2 - \frac{2t}{\text{sen } t} \right)$$ Separamos el límite en dos partes por la propiedad de la resta de límites: $$\lim_{t \to 0} (3t^2) - \lim_{t \to 0} \left( \frac{2t}{\text{sen } t} \right)$$ El primer término es inmediato: $\lim_{t \to 0} 3t^2 = 3(0)^2 = 0$. Para el segundo término, recordamos el límite notable $\lim_{t \to 0} \frac{\text{sen } t}{t} = 1$, por lo que su inversa también tiende a $1$: $$\lim_{t \to 0} \frac{2t}{\text{sen } t} = 2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{t}{\text{sen } t} = 2 \cdot 1 = 2$$ Combinando ambos resultados: $$0 - 2 = -2$$ 💡 **Tip:** Si no recuerdas el límite notable, puedes aplicar L'Hôpital a $\frac{2t}{\text{sen } t}$, obteniendo $\frac{2}{\cos t}$, que en $t=0$ vale $2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{-2}$$

**b.1) (0.5 puntos) $\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$** Observamos que el numerador es casi la derivada del denominador. La derivada de $x^2 - 1$ es $2x$. Para obtener una integral de tipo logarítmico, ajustamos la constante multiplicando y dividiendo por $2$: $$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 - 1} dx$$ Ahora la integral es de la forma $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$: $$\frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea una unidad inferior al del denominador, comprueba si puedes transformarla en una integral logarítmica inmediata. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\dfrac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C}$$

**b.2) (0.75 puntos) $\int_{0}^{1} x^2 e^{-x} dx$** Para resolver $\int x^2 e^{-x} dx$, aplicamos el método de **integración por partes** dos veces, usando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. **Primera aplicación:** Sea $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ Sea $dv = e^{-x} \, dx \implies v = -e^{-x}$ $$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) \cdot 2x \, dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$$ **Segunda aplicación** (para la integral $\int x e^{-x} dx$): Sea $u = x \implies du = dx$ Sea $dv = e^{-x} \, dx \implies v = -e^{-x}$ $$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) \, dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x}$$ Sustituimos en la expresión original para obtener la primitiva $F(x)$: $$F(x) = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} - e^{-x}) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2)$$ Finalmente, aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 1]$: $$\int_{0}^{1} x^2 e^{-x} dx = \left[ -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en $x=1$: $$F(1) = -e^{-1}(1^2 + 2(1) + 2) = -5e^{-1} = -\frac{5}{e}$$ Evaluamos en $x=0$: $$F(0) = -e^{0}(0^2 + 2(0) + 2) = -1(2) = -2$$ Restamos los valores: $$F(1) - F(0) = -\frac{5}{e} - (-2) = 2 - \frac{5}{e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "ALPES" para elegir $u$: potencias (Polinomios) antes que Exponenciales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2 - \dfrac{5}{e}}$$