Sistema de ecuaciones: Problema de seguidores en redes sociales

Para resolver el problema, lo primero es definir las incógnitas que representan el número de seguidores de cada amiga: - $x$: número de seguidores de **Sara**. - $y$: número de seguidores de **Cristina**. - $z$: número de seguidores de **Jimena**. A continuación, traducimos el enunciado a ecuaciones algebraicas: 1. El total de seguidores es 15000: $$x + y + z = 15000$$ 2. Si Jimena perdiera el 25% de sus seguidores, le quedaría el 75% ($0,75z$), lo cual equivale al triple de Sara ($3x$): $$0,75z = 3x \implies \frac{3}{4}z = 3x \implies z = 4x \implies 4x - z = 0$$ 3. La mitad de los de Sara ($x/2$) más la quinta parte de los de Cristina ($y/5$) son la cuarta parte de los de Jimena ($z/4$): $$\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = \frac{z}{4}$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con números enteros en la tercera ecuación, multiplicamos todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m. de 2, 5 y 4 es 20): $$20 \cdot \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{5}\right) = 20 \cdot \frac{z}{4} \implies 10x + 4y = 5z \implies 10x + 4y - 5z = 0$$ El sistema de ecuaciones resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 15000 \\ 4x - z = 0 \\ 10x + 4y - 5z = 0 \end{cases}$$

Dado que la segunda ecuación es muy sencilla, utilizaremos el método de sustitución. De la segunda ecuación despejamos $z$: $$z = 4x$$ Sustituimos este valor en la primera y tercera ecuación: - En la primera: $$x + y + 4x = 15000 \implies 5x + y = 15000 \implies y = 15000 - 5x$$ - En la tercera: $$10x + 4y - 5(4x) = 0 \implies 10x + 4y - 20x = 0 \implies 4y - 10x = 0$$ Ahora sustituimos $y$ en esta última ecuación reducida: $$4(15000 - 5x) - 10x = 0$$ $$60000 - 20x - 10x = 0$$ $$60000 = 30x \implies x = \frac{60000}{30} = 2000$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es ideal cuando una de las variables ya está prácticamente despejada o relacionada directamente con otra, como ocurre aquí con $z = 4x$.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos los valores de $y$ y $z$: 1. Para **Jimena** ($z$): $$z = 4x = 4(2000) = 8000$$ 2. Para **Cristina** ($y$): $$y = 15000 - 5x = 15000 - 5(2000) = 15000 - 10000 = 5000$$ **Comprobación:** - Total: $2000 + 5000 + 8000 = 15000$ (Correcto). - Jimena pierde 25%: $8000 - 2000 = 6000$. Es el triple de Sara ($3 \cdot 2000 = 6000$) (Correcto). - Mitad de Sara (1000) + Quinta parte de Cristina (1000) = 2000. Cuarta parte de Jimena ($8000/4 = 2000$) (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Sara: } 2000 \text{ seguidores, Cristina: } 5000 \text{ seguidores, Jimena: } 8000 \text{ seguidores}}$$