Distribución binomial y retrasos escolares

**a) [1 p.] El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Juan llega tarde a clase en los próximos 9 días. ¿Cuáles son sus parámetros?** Analizamos las características del experimento: 1. El experimento se repite un número fijo de veces: $n = 9$ días. 2. En cada día solo hay dos posibilidades: Juan llega tarde (éxito) o no llega tarde (fracaso). 3. La probabilidad de llegar tarde es constante cada día: $p = 0,45$. 4. Los días son independientes entre sí. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de días que Juan llega tarde de los 9 totales". Esta variable sigue una **distribución Binomial**. Los parámetros son: - $n = 9$ (número de ensayos o días). - $p = 0,45$ (probabilidad de éxito o llegar tarde). - $q = 1 - p = 1 - 0,45 = 0,55$ (probabilidad de fracaso o no llegar tarde). 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se aplica cuando realizamos $n$ experimentos independientes con una probabilidad fija $p$ de que ocurra el suceso estudiado. $$\boxed{X \sim B(9; \, 0,45)}$$

**b) [0,5 p.] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?** Para una distribución binomial $B(n, p)$, utilizamos las siguientes fórmulas: 1. **Media ($\\mu$):** $$\mu = n \cdot p = 9 \cdot 0,45 = 4,05$$ 2. **Desviación típica ($\\sigma$):** $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{9 \cdot 0,45 \cdot 0,55}$$ $$\sigma = \sqrt{4,05 \cdot 0,55} = \sqrt{2,2275} \approx 1,4925$$ 💡 **Tip:** La varianza es $n \cdot p \cdot q$. La desviación típica es siempre la raíz cuadrada positiva de la varianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 4,05; \quad \sigma \approx 1,4925}$$

**c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que Juan consiga la ansiada subida de 1 punto en la nota final?** Juan consigue el punto si llega tarde "como mucho 2 días". Esto significa que el número de días de retraso $X$ debe ser menor o igual a 2. Debemos calcular: $$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$ Recordamos la fórmula de la probabilidad puntual binomial: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$. 1. **Para $k=0$:** $$P(X=0) = \binom{9}{0} (0,45)^0 (0,55)^9 = 1 \cdot 1 \cdot 0,004605 \approx 0,0046$$ 2. **Para $k=1$:** $$P(X=1) = \binom{9}{1} (0,45)^1 (0,55)^8 = 9 \cdot 0,45 \cdot 0,008373 \approx 0,0339$$ 3. **Para $k=2$:** $$P(X=2) = \binom{9}{2} (0,45)^2 (0,55)^7 = 36 \cdot 0,2025 \cdot 0,015224 \approx 0,1110$$ Donde $\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$. 💡 **Tip:** $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. En el caso de $k=0$ siempre es 1, y en el caso de $k=1$ siempre es $n$. Sumamos las probabilidades: $$P(X \le 2) = 0,0046 + 0,0339 + 0,1110 = 0,1495$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 2) = 0,1495}$$