Probabilidad con bolas de colores y numeradas

Para resolver este ejercicio de forma clara, primero identificamos los sucesos y organizamos los datos de la urna. Definimos los sucesos: - $B$: la bola extraída es blanca. - $N$: la bola extraída es negra. - $P$: la bola tiene un número par. - $I$: la bola tiene un número impar. Analizamos la composición de la urna: - **Bolas negras (5 en total):** numeradas del 1 al 5. Los pares son {2, 4} (2 bolas) y los impares {1, 3, 5} (3 bolas). - **Bolas blancas (7 en total):** numeradas del 1 al 7. Los pares son {2, 4, 6} (3 bolas) y los impares {1, 3, 5, 7} (4 bolas). Creamos una **tabla de contingencia** con las frecuencias: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Par (P)} & \text{Impar (I)} & \text{Total} \\ \hline \text{Blanca (B)} & 3 & 4 & 7 \\ \text{Negra (N)} & 2 & 3 & 5 \\ \hline \text{Total} & 5 & 7 & 12 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son ideales cuando se cruzan dos variables (en este caso: color y paridad) para visualizar rápidamente los casos favorables y totales.

**a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca.** Utilizamos la Regla de Laplace, que define la probabilidad como el cociente entre casos favorables y casos totales. - Casos favorables (bolas blancas): $n(B) = 7$ - Casos totales (total de bolas): $n(T) = 12$ $$P(B) = \frac{n(B)}{n(T)} = \frac{7}{12}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = \frac{7}{12} \approx 0.5833}$$

**b) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par.** Identificamos en nuestra tabla el total de bolas que tienen un número par, independientemente de su color. - Casos favorables (bolas pares): $n(P) = 3 \text{ (blancas)} + 2 \text{ (negras)} = 5$ - Casos totales: $n(T) = 12$ $$P(P) = \frac{n(P)}{n(T)} = \frac{5}{12}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = \frac{5}{12} \approx 0.4167}$$

**c) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par, sabiendo que es una bola blanca.** Se trata de una probabilidad condicionada $P(P|B)$. Restringimos nuestro espacio muestral únicamente a las bolas blancas (7 bolas). - Casos favorables (bolas blancas y pares): $n(B \cap P) = 3$ - Casos posibles (total de bolas blancas): $n(B) = 7$ Utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(P|B) = \frac{P(P \cap B)}{P(B)} = \frac{3/12}{7/12} = \frac{3}{7}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ se lee como "probabilidad de A dado que ha ocurrido B". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P|B) = \frac{3}{7} \approx 0.4286}$$

**d) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca y esté numerada con un número par.** Buscamos la probabilidad de la intersección $P(B \cap P)$ sobre el total de la urna. - Casos favorables (intersección de fila 'Blanca' y columna 'Par'): $n(B \cap P) = 3$ - Casos totales de la urna: $n(T) = 12$ $$P(B \cap P) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap P) = \frac{1}{4} = 0.25}$$

**e) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que está numerada con un número par.** Calculamos $P(B|P)$. En este caso, el espacio muestral se restringe a las bolas pares (5 bolas). - Casos favorables (bolas que son pares y también blancas): $n(P \cap B) = 3$ - Casos posibles (total de bolas pares): $n(P) = 5$ Aplicando la fórmula: $$P(B|P) = \frac{P(B \cap P)}{P(P)} = \frac{3/12}{5/12} = \frac{3}{5}$$ Observemos que $P(B|P)$ no es lo mismo que $P(P|B)$ calculado en el apartado c). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|P) = \frac{3}{5} = 0.6}$$