Geometría en el espacio: Vértices de un triángulo y perpendicularidad

**a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del tercer vértice $C$ sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$.** El punto $C$ pertenece a la recta $r$, por lo que sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones de dicha recta. Para trabajar con mayor facilidad, expresamos la recta en ecuaciones paramétricas. De la segunda ecuación tenemos que $y = 0$. De la primera ecuación, despejamos $z$ en función de $x$: $$4x + 3z = 33 \implies 3z = 33 - 4x \implies z = 11 - \frac{4}{3}x$$ Para evitar fracciones, tomamos $x = 3\lambda$. Así, las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r : \begin{cases} x = 3\lambda \\ y = 0 \\ z = 11 - 4\lambda \end{cases}$$ De aquí obtenemos el vector director de la recta, $\vec{v_r}$, y un punto genérico $C$: $$\vec{v_r} = (3, 0, -4) \quad \text{y} \quad C(3\lambda, 0, 11 - 4\lambda)$$ 💡 **Tip:** Al parametrizar, elige el valor de la variable independiente de modo que los vectores directores no tengan fracciones si es posible; esto simplifica los cálculos posteriores.

Se nos indica que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$. Esto implica que el vector director de la recta $r$, $\vec{v_r}$, debe ser perpendicular al vector $\vec{AC}$. Calculamos el vector $\vec{AC}$ siendo $A(2, 0, 0)$: $$\vec{AC} = C - A = (3\lambda - 2, 0 - 0, 11 - 4\lambda - 0) = (3\lambda - 2, 0, 11 - 4\lambda)$$ La condición de perpendicularidad establece que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{AC} = 0$$ $$(3, 0, -4) \cdot (3\lambda - 2, 0, 11 - 4\lambda) = 0$$ $$3(3\lambda - 2) + 0(0) - 4(11 - 4\lambda) = 0$$ $$9\lambda - 6 - 44 + 16\lambda = 0 \implies 25\lambda - 50 = 0 \implies 25\lambda = 50 \implies \lambda = 2$$ Sustituimos $\lambda = 2$ en las coordenadas de $C$: $$C(3 \cdot 2, 0, 11 - 4 \cdot 2) = C(6, 0, 3)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{C = (6, 0, 3)}$$

**b) [1 p.] Determine si el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $A$ y calcule su área.** Para comprobar si existe un ángulo recto en el vértice $A$, debemos verificar si los vectores que parten de dicho vértice, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, son perpendiculares. Esto ocurre si su producto escalar es nulo. Calculamos los vectores: $$\vec{AC} = (6-2, 0-0, 3-0) = (4, 0, 3)$$ $$\vec{AB} = B - A = (-1-2, 12-0, 4-0) = (-3, 12, 4)$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(4) + (12)(0) + (4)(3) = -12 + 0 + 12 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, los vectores son perpendiculares. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\text{El triángulo } ABC \text{ tiene un ángulo recto en } A}$$

Puesto que el triángulo es rectángulo en $A$, el área se puede calcular como la mitad del producto de la base por la altura (los catetos $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$): $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$$ Por tanto: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5 = \frac{65}{2} = 32.5 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** También se puede usar el producto vectorial para cualquier triángulo: $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$. Vamos a mostrar el producto vectorial para confirmar el resultado: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 12 & 4 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(12 \cdot 3) + \vec{j}(4 \cdot 4) + \vec{k}(-3 \cdot 0) - [\vec{k}(12 \cdot 4) + \vec{i}(0 \cdot 4) + \vec{j}(3 \cdot -3)]$$ $$= (36\vec{i} + 16\vec{j} + 0\vec{k}) - (48\vec{k} + 0\vec{i} - 9\vec{j}) = 36\vec{i} + 25\vec{j} - 48\vec{k} = (36, 25, -48)$$ $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{36^2 + 25^2 + (-48)^2} = \sqrt{1296 + 625 + 2304} = \sqrt{4225} = 65$$ $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 65 = 32.5 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = 32.5 \text{ u}^2}$$