Intersección de rectas, ángulo y plano que las contiene

**a) [0,75 p.] Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de corte.** Para trabajar con comodidad, primero extraemos un punto y un vector director de cada recta. **Recta $r$:** A partir de su ecuación continua $\frac{x-1}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{-1}$: - Punto $P_r = (1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 1, -1)$ **Recta $s$:** Resolvemos el sistema de ecuaciones implícitas para obtener sus ecuaciones paramétricas. Si fijamos $y = \lambda$: - $y = \lambda$ - $x = -1 + 2y = -1 + 2\lambda$ - $z = 1 - y = 1 - \lambda$ Por tanto: - Punto $P_s = (-1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (2, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables (siempre que el sistema sea compatible indeterminado) y despejar las demás.

Para ver si se cortan, igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. Usaremos parámetros distintos para cada una: $\mu$ para $r$ y $\lambda$ para $s$. Paramétricas de $r$: $\begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = \mu \\ z = 1 - \mu \end{cases}$ Paramétricas de $s$: $\begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$ Igualamos componente a componente: 1. $1 + \mu = -1 + 2\lambda$ 2. $\mu = \lambda$ 3. $1 - \mu = 1 - \lambda$ De la ecuación (2) obtenemos $\mu = \lambda$. Sustituimos en la ecuación (1): $$1 + \lambda = -1 + 2\lambda \implies 1 + 1 = 2\lambda - \lambda \implies \lambda = 2$$ Como $\mu = \lambda$, entonces $\mu = 2$. Comprobamos en la ecuación (3): $$1 - 2 = 1 - 2 \implies -1 = -1$$ (Se cumple) Como el sistema tiene una solución única, las rectas **se cortan en un punto**. Calculamos sus coordenadas sustituyendo $\lambda = 2$ en las ecuaciones de $s$: - $x = -1 + 2(2) = 3$ - $y = 2$ - $z = 1 - 2 = -1$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{I(3, 2, -1)}$$

**b) [1 p.] Determine el ángulo que forman las dos rectas.** El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas es el ángulo agudo que forman sus vectores directores. Se calcula mediante la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ Calculamos los elementos: - Producto escalar: $\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (1, 1, -1) \cdot (2, 1, -1) = 1(2) + 1(1) + (-1)(-1) = 2 + 1 + 1 = 4$ - Módulo de $\vec{v}_r$: $|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ - Módulo de $\vec{v}_s$: $|\vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|4|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Calculamos el ángulo con la calculadora: $$\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 19,47^\circ$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos rectas siempre se da en el intervalo $[0, 90^\circ]$, por eso usamos el valor absoluto en el numerador del coseno. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha \approx 19,47^\circ}$$

**c) [0,75 p.] Calcule la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.** El plano $\pi$ que contiene a $r$ y $s$ pasará por el punto de corte $I(3, 2, -1)$ (o cualquier punto de las rectas) y tendrá como vectores directores los de las rectas, $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. Podemos obtener el vector normal $\vec{n}$ del plano mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i}(-1) + \vec{j}(-2) + \vec{k}(1) - [\vec{k}(2) + \vec{i}(-1) + \vec{j}(-1)]$$ $$\vec{n} = -\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} + \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} = (0, -1, -1)$$ Para simplificar, tomamos un vector normal proporcional: $\vec{n}_\pi = (0, 1, 1)$. La ecuación del plano es de la forma $0x + 1y + 1z + D = 0$. Imponemos que pase por $I(3, 2, -1)$: $$1(2) + 1(-1) + D = 0 \implies 2 - 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano es: $$y + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{y + z - 1 = 0}$$