Integración por cambio de variable e integral definida con parámetro

**a) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida $\int x \text{ sen}(x^2) dx$ utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución).** Para resolver la integral $\int x \text{ sen}(x^2) dx$, observamos que la derivada de lo que está dentro del seno ($x^2$) es casi el factor que multiplica fuera ($x$). Esto sugiere realizar un cambio de variable. Definimos el cambio: $$t = x^2$$ Derivamos ambos lados respecto a sus variables: $$dt = 2x \, dx$$ Despejamos el término que aparece en nuestra integral ($x \, dx$): $$\frac{dt}{2} = x \, dx$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución busca transformar una integral compleja en una inmediata mediante un cambio $t = g(x)$ tal que su derivada $g'(x)$ esté presente en el integrando.

Sustituimos las expresiones obtenidas en la integral original: $$\int x \text{ sen}(x^2) dx = \int \text{ sen}(t) \frac{dt}{2}$$ Extraemos la constante fuera de la integral: $$\frac{1}{2} \int \text{ sen}(t) dt$$ La integral del seno es una integral inmediata: $$\frac{1}{2} \left( -\cos(t) \right) + C = -\frac{1}{2} \cos(t) + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable sustituyendo $t$ por $x^2$: ✅ **Resultado (integral indefinida):** $$\boxed{\int x \text{ sen}(x^2) dx = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C}$$

**b) [1 p.] Determine el menor valor de $a > 0$ para el cual se cumple $\int_0^a x \text{ sen}(x^2) dx = 1$.** Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior, $F(x) = -\frac{1}{2} \cos(x^2)$, para aplicar la regla de Barrow en el intervalo $[0, a]$. $$\int_0^a x \text{ sen}(x^2) dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos(x^2) \right]_0^a = 1$$ Calculamos los valores en los límites de integración: $$\left( -\frac{1}{2} \cos(a^2) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos(0^2) \right) = 1$$ Sabiendo que $\cos(0) = 1$: $$-\frac{1}{2} \cos(a^2) + \frac{1}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$.

A partir de la ecuación anterior, despejamos el término con el coseno: $$-\frac{1}{2} \cos(a^2) = 1 - \frac{1}{2}$$ $$-\frac{1}{2} \cos(a^2) = \frac{1}{2}$$ $$\cos(a^2) = -1$$ Buscamos los valores para los cuales el coseno es $-1$. Esto ocurre en: $$a^2 = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Como el enunciado nos pide el **menor valor de $a > 0$**, tomamos $k = 0$: $$a^2 = \pi \implies a = \sqrt{\pi}$$ (No consideramos $-\sqrt{\pi}$ porque el enunciado especifica $a > 0$). ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = \sqrt{\pi}}$$