Extremos relativos, monotonía y límites de una función exponencial

**a) [1,5 p.] Calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos) y determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = x^2 e^{-x}$. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})'$$ $$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$$ Factorizamos para facilitar el estudio del signo: $$f'(x) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2 - x)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, $(e^{-x})' = -1 \cdot e^{-x} = -e^{-x}$. $$\boxed{f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}}$$

Los puntos críticos (candidatos a extremos) son aquellos donde $f'(x) = 0$: $$(2x - x^2)e^{-x} = 0$$ Como $e^{-x} \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, la ecuación se reduce a: $$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$x = 0$** y **$x = 2$**. Ahora dividimos la recta real en intervalos definidos por estos puntos y estudiamos el signo de $f'(x)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline x & - & 0 & + & + & + \\ 2-x & + & + & + & 0 & - \\ e^{-x} & + & + & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para determinar el signo en cada intervalo, puedes evaluar la derivada en un punto de prueba (por ejemplo, $f'(-1)$, $f'(1)$ y $f'(3)$).

A partir de la tabla de signos anterior, concluimos: **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - La función es **decreciente** en $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ porque $f'(x) \lt 0$. - La función es **creciente** en $(0, 2)$ porque $f'(x) \gt 0$. **Extremos relativos:** - En $x = 0$ hay un **mínimo relativo** (la función pasa de decrecer a crecer). Calculamos su ordenada: $f(0) = 0^2 e^{0} = 0$. Punto: $(0, 0)$. - En $x = 2$ hay un **máximo relativo** (la función pasa de crecer a decrecer). Calculamos su ordenada: $f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$. Punto: $(2, 4/e^2)$. ✅ **Resultado (monotonía y extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente: } (0, 2) \\ &\text{Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \\ &\text{Mínimo relativo: } (0, 0) \\ &\text{Máximo relativo: } (2, 4/e^2) \end{aligned}}$$

**b) [1 p.] Calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Primero calculamos el límite cuando $x$ tiende a $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (-\infty)^2 \cdot e^{-(-\infty)} = (+\infty) \cdot e^{+\infty} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ En este caso no hay indeterminación, ya que ambos factores tienden a infinito positivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$$

Calculamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$$ Esto presenta una indeterminación del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$$ Sigue siendo una indeterminación $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x}$$ Como el numerador es constante y el denominador tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se puede aplicar varias veces siempre que persista la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$