Ecuaciones matriciales y propiedades de matrices de orden 2

**a) [1 p.] Si se denota por $\text{tr}(A)$ la traza de la matriz $A$ (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por $|A|$ el determinante de $A$, compruebe que, para cualquier valor de $a$, se cumple la ecuación $A^2 = \text{tr}(A)A - |A|I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2.** Primero, calculamos cada término de la identidad propuesta de forma independiente. Empezamos por $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(2) + (a)(-1) & (2)(a) + (a)(2) \\ (-1)(2) + (2)(-1) & (-1)(a) + (2)(2) \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 4 - a & 4a \\ -4 & 4 - a \end{pmatrix}$$ Calculamos la traza $\text{tr}(A)$ y el determinante $|A|$: - $\text{tr}(A) = 2 + 2 = 4$ - $|A| = (2)(2) - (a)(-1) = 4 + a$ 💡 **Tip:** Recuerda que la traza es la suma de los elementos de la diagonal principal y el determinante de una matriz $2 \times 2$ es $ad - bc$.

Ahora calculamos el segundo miembro de la ecuación: $\text{tr}(A)A - |A|I$. Sustituimos los valores obtenidos: $$\text{tr}(A)A - |A|I = 4 \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - (4 + a) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\text{tr}(A)A - |A|I = \begin{pmatrix} 8 & 4a \\ -4 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 + a & 0 \\ 0 & 4 + a \end{pmatrix}$$ $$\text{tr}(A)A - |A|I = \begin{pmatrix} 8 - (4 + a) & 4a - 0 \\ -4 - 0 & 8 - (4 + a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - a & 4a \\ -4 & 4 - a \end{pmatrix}$$ Como ambos resultados coinciden: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 4 - a & 4a \\ -4 & 4 - a \end{pmatrix} = \text{tr}(A)A - |A|I}$$

**b) [0,5 p.] Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ es regular (o inversible).** Una matriz cuadrada es regular (inversible) si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - (-a) = 4 + a$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$4 + a = 0 \implies a = -4$$ Por lo tanto, la matriz $A$ es regular para cualquier valor de $a$ excepto $-4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ es regular } \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}}$$

**c) [1 p.] Para $a = -3$, resuelva la ecuación matricial $AX - A^t = A$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación: $$AX - A^t = A \implies AX = A + A^t$$ Como para $a = -3$, el determinante es $|A| = 4 + (-3) = 1 \neq 0$, existe la inversa $A^{-1}$. Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}AX = A^{-1}(A + A^t) \implies X = A^{-1}(A + A^t)$$ 💡 **Tip:** Al despejar ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa $A^{-1}$ debe aparecer a la izquierda en el otro miembro.

Para $a = -3$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. 1. Calculamos $A + A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \implies A + A^t = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos $A^{-1}$: $|A| = 1$. $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. En este caso: $\frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando las matrices obtenidas: $$X = A^{-1}(A + A^t) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (2)(4) + (3)(-4) & (2)(-4) + (3)(4) \\ (1)(4) + (2)(-4) & (1)(-4) + (2)(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 12 & -8 + 12 \\ 4 - 8 & -4 + 8 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}}$$