Sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) [0,75 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única.** Para analizar el sistema según el parámetro $a$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & 5 & -a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & -1 & 0 \\ 2 & 1 & a & 0 \\ 1 & 5 & -a & a+1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & 5 & -a \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-a) + a \cdot a \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot 5] - [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot 2 \cdot (-a) + 1 \cdot a \cdot 5]$$ $$|A| = (-a + a^2 - 10) - (-1 - 2a^2 + 5a) = a^2 - a - 10 + 1 + 2a^2 - 5a$$ $$|A| = 3a^2 - 6a - 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema tiene solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$3a^2 - 6a - 9 = 0 \implies a^2 - 2a - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos los valores: **$a = 3$** y **$a = -1$**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ e igual al número de incógnitas ($n=3$): $$\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\} \implies |A| \neq 0 \implies \text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución única cuando } a \neq -1 \text{ y } a \neq 3}$$

**b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Analizamos el caso **$a = -1$**. Sustituimos el valor en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Se trata de un sistema homogéneo (la columna de términos independientes es nula). Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como es un sistema homogéneo, $\text{rang}(A^*) = \text{rang}(A) = 2$. Al ser el rango menor que el número de incógnitas ($2 \lt 3$), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, si el determinante es cero, siempre tiene infinitas soluciones (además de la solución trivial).

Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos una de las incógnitas como parámetro. Sea **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} x - y = \lambda \\ 2x + y = \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$3x = 2\lambda \implies x = \frac{2}{3}\lambda$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$y = x - \lambda = \frac{2}{3}\lambda - \lambda = -\frac{1}{3}\lambda$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{a = -1; \quad \text{Soluciones: } \begin{cases} x = \frac{2}{3}\lambda \\ y = -\frac{1}{3}\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) [0,75 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso **$a = 3$**. Sustituimos el valor en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3 & 4 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Comprobamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Calculamos ahora el rango de $A^*$ estudiando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-5) = -20 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\text{El sistema no tiene solución para } a = 3}$$