Distribución normal de la velocidad en autopista

**a) [0,75 p.] Calcule la media de esta distribución.** Definimos la variable aleatoria $X$ como la velocidad de los vehículos en km/h. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, 10)$$ Sabemos que el 69,15% de los vehículos no sobrepasan los 130 km/h, lo que se traduce en la siguiente probabilidad: $$P(X \le 130) = 0,6915$$ Para trabajar con la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P\left( Z \le \frac{130 - \mu}{10} \right) = 0,6915$$ 💡 **Tip:** Tipificar consiste en transformar nuestra variable $X$ en una $Z$ con media 0 y desviación 1 para poder usar las tablas estadísticas.

Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$ el valor de $z$ tal que $P(Z \le z) = 0,6915$. Al observar la tabla, vemos que el valor de probabilidad $0,6915$ corresponde exactamente a: $$z = 0,5$$ Por lo tanto, igualamos el valor tipificado a $0,5$: $$\frac{130 - \mu}{10} = 0,5$$ Resolvemos la ecuación para hallar $\mu$: $$130 - \mu = 0,5 \cdot 10$$ $$130 - \mu = 5$$ $$\mu = 130 - 5 = 125$$ ✅ **Resultado (media):** $$\boxed{\mu = 125\text{ km/h}}$$

**b) [0,75 p.] ¿Cuál es el porcentaje de vehículos que no sobrepasan la velocidad máxima permitida?** La velocidad máxima permitida es de 120 km/h. Debemos calcular $P(X \le 120)$ utilizando la media $\mu = 125$ obtenida anteriormente. Tipificamos de nuevo: $$P(X \le 120) = P\left( Z \le \frac{120 - 125}{10} \right) = P(Z \le -0,5)$$ Como la tabla solo muestra valores positivos, utilizamos la propiedad de simetría de la normal: $$P(Z \le -0,5) = P(Z \gt 0,5) = 1 - P(Z \le 0,5)$$ Consultamos el valor de $P(Z \le 0,5)$ en la tabla, que ya sabemos por el apartado anterior que es $0,6915$: $$P(X \le 120) = 1 - 0,6915 = 0,3085$$ Para expresar el resultado como porcentaje: $$0,3085 \cdot 100 = 30,85\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$ por la simetría de la campana de Gauss. ✅ **Resultado (porcentaje):** $$\boxed{30,85\%}$$

**c) [1 p.] La DGT establece una multa de 100 euros a los vehículos que viajan entre 120 y 150 km/h ¿Cuál es la probabilidad de ser sancionado con dicha multa?** Se nos pide calcular la probabilidad de que la velocidad esté en el intervalo $[120, 150]$, es decir, $P(120 \le X \le 150)$. Tipificamos ambos extremos: $$P(120 \le X \le 150) = P\left( \frac{120 - 125}{10} \le Z \le \frac{150 - 125}{10} \right)$$ $$P(120 \le X \le 150) = P(-0,5 \le Z \le 2,5)$$ Calculamos la probabilidad del intervalo como la diferencia de las probabilidades acumuladas: $$P(-0,5 \le Z \le 2,5) = P(Z \le 2,5) - P(Z \le -0,5)$$ Buscamos $P(Z \le 2,5)$ en la tabla: $$P(Z \le 2,5) = 0,9938$$ Del apartado anterior sabemos que $P(Z \le -0,5) = 0,3085$. Restamos ambos valores: $$0,9938 - 0,3085 = 0,6853$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que una variable normal esté en un intervalo $(a, b)$ siempre es $P(Z \le b') - P(Z \le a')$ tras tipificar. ✅ **Resultado (probabilidad):** $$\boxed{0,6853}$$