Probabilidad de daltonismo por sexos

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos relevantes y organizamos la información en un árbol de probabilidad. Definimos los sucesos: - $H$: La persona elegida es hombre. - $M$: La persona elegida es mujer. - $D$: La persona elegida es daltónica. - $\bar{D}$: La persona elegida no es daltónica. Datos del enunciado: - $P(H) = 0,505$ - $P(M) = 0,495$ - $P(D|H) = 0,10$ - $P(D|M) = 0,01$ Representamos estos datos en un diagrama de árbol:

**a) [1 p.] La probabilidad de que una persona elegida al azar sea daltónica.** Para calcular la probabilidad de que una persona sea daltónica, $P(D)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La persona puede ser daltónica siendo hombre o siendo mujer: $$P(D) = P(H) \cdot P(D|H) + P(M) \cdot P(D|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = 0,505 \cdot 0,10 + 0,495 \cdot 0,01$$ $$P(D) = 0,0505 + 0,00495$$ $$P(D) = 0,05545$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos del árbol que llevan a él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = 0,05545 \text{ (o } 5,545\%)}$$

**b) [1 p.] Si una persona es daltónica, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?** En este caso, conocemos el resultado final (es daltónica) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (que sea mujer). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|D) = \frac{P(M \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M) \cdot P(D|M)}{P(D)}$$ Utilizamos el valor de $P(D)$ calculado en el apartado anterior: $$P(M|D) = \frac{0,495 \cdot 0,01}{0,05545} = \frac{0,00495}{0,05545}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(M|D) \approx 0,08927$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|D) \approx 0,0893}$$

**c) [0,5 p.] ¿Son independientes los sucesos "ser una persona daltónica" y "ser mujer"?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si el hecho de que ocurra uno no cambia la probabilidad de que ocurra el otro, es decir, si $P(D|M) = P(D)$ o si $P(D \cap M) = P(D) \cdot P(M)$. Comprobamos si $P(D|M) = P(D)$: - $P(D|M) = 0,01$ - $P(D) = 0,05545$ Como $0,01 \neq 0,05545$, entonces: $$P(D|M) \neq P(D)$$ 💡 **Tip:** Si la probabilidad de ser daltónico cambia según el sexo de la persona, los sucesos están relacionados y, por tanto, **no son independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes, ya que } P(D|M) \neq P(D)}$$