Ángulo entre vectores y ecuación de un plano paralelo a una recta

**a) [1 p.] Calcule los valores de $a$ para los cuales el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.** Para que el triángulo $ABC$ tenga un ángulo recto en el vértice $A$, los vectores que parten de dicho vértice, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, deben ser perpendiculares. Calculamos primero las coordenadas de ambos vectores restando las componentes de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (0 - a, 0 - 4, 5 - 3) = (-a, -4, 2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - a, 3 - 4, -1 - 3) = (-a, -1, -4)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Aplicamos la condición de producto escalar nulo: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$$ $$(-a, -4, 2) \cdot (-a, -1, -4) = 0$$ Realizamos la operación componente a componente: $$(-a) \cdot (-a) + (-4) \cdot (-1) + 2 \cdot (-4) = 0$$ $$a^2 + 4 - 8 = 0$$ $$a^2 - 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: $$a^2 = 4 \implies a = \pm \sqrt{4}$$ Por tanto, los valores de $a$ son $a = 2$ y $a = -2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad a = -2}$$

**b) [1,5 p.] Tomando el valor de $a = 3$, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ y $B$ y es paralelo a la recta dada por $\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos entre sí. 1. **Punto del plano:** Podemos usar el punto $B(0, 0, 5)$. 2. **Primer vector director ($\vec{v_1}$):** Al pasar por $A$ y $B$, el vector $\vec{AB}$ está contenido en el plano. Con $a=3$: $$\vec{v_1} = \vec{AB} = (0 - 3, 0 - 4, 5 - 3) = (-3, -4, 2)$$ 3. **Segundo vector director ($\vec{v_2}$):** Como el plano es paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{d_r}$, nos sirve como vector director del plano. 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}, \vec{v}$ mediante el determinante $\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$.

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{d_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n_1} = (1, -1, 1), \quad \vec{n_2} = (2, 1, 0)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{d_r} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(1 - (-2))$$ $$\vec{d_r} = (-1, 2, 3)$$ Por tanto, tomamos $\vec{v_2} = (-1, 2, 3)$.

Utilizamos el punto $B(0, 0, 5)$ y los vectores $\vec{v_1} = (-3, -4, 2)$ y $\vec{v_2} = (-1, 2, 3)$. La ecuación del plano viene dada por: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 5 \\ -3 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x) \cdot [(-4) \cdot 3 - 2 \cdot 2] - (y) \cdot [(-3) \cdot 3 - (-1) \cdot 2] + (z - 5) \cdot [(-3) \cdot 2 - (-1) \cdot (-4)] = 0$$ $$(x) \cdot [-12 - 4] - (y) \cdot [-9 + 2] + (z - 5) \cdot [-6 - 4] = 0$$ $$-16x + 7y - 10(z - 5) = 0$$ $$-16x + 7y - 10z + 50 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: $$16x - 7y + 10z - 50 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{16x - 7y + 10z - 50 = 0}$$