Intersección de planos y haz de planos

**a) [1 p.] Compruebe que los planos se cortan y calcule la ecuación de la recta $r$ determinada por la intersección de ambos planos.** Para comprobar que dos planos se cortan, debemos verificar que sus vectores normales no son proporcionales. Extraemos los vectores normales de las ecuaciones de los planos $\pi_1: x - y + z = 0$ y $\pi_2: x + y - z = 2$: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$$ $$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$$ Comparamos sus componentes: $$\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1} \implies 1 \neq -1$$ Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes. Por lo tanto, **los planos se cortan en una recta $r$**. 💡 **Tip:** Si los vectores normales son proporcionales (uno es múltiplo del otro), los planos serían paralelos o el mismo plano.

La recta $r$ viene definida por el sistema de ecuaciones formado por ambos planos: $$r: \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + y - z = 2 \end{cases}$$ Podemos resolver el sistema para obtener las ecuaciones paramétricas. Sumando ambas ecuaciones: $$(x - y + z) + (x + y - z) = 0 + 2$$ $$2x = 2 \implies x = 1$$ Sustituimos $x = 1$ en la primera ecuación: $$1 - y + z = 0 \implies y = 1 + z$$ Si tomamos $z = \lambda$ como parámetro, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v}_r$: $$\boxed{P_r(1, 1, 0), \quad \vec{v}_r = (0, 1, 1)}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber calculado el vector director mediante el producto vectorial de los normales: $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.

**b) [1,5 p.] Compruebe que el punto $A = (3, 2, 1)$ no está en $\pi_1$ ni en $\pi_2$ y calcule la ecuación del plano $\pi_3$ que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $A$.** Para comprobar si un punto pertenece a un plano, sustituimos sus coordenadas en la ecuación del plano. Para $\pi_1: x - y + z = 0$: $$3 - 2 + 1 = 2 \neq 0$$ El punto $A$ **no está en $\pi_1$**. Para $\pi_2: x + y - z = 2$: $$3 + 2 - 1 = 4 \neq 2$$ El punto $A$ **no está en $\pi_2$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \notin \pi_1 \text{ y } A \notin \pi_2}$$

El plano $\pi_3$ contiene a la recta $r$ y al punto $A$. Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (no paralelos) contenidos en él. Como contiene a $r$, podemos usar: - El punto $P_r(1, 1, 0)$. - El vector director de la recta $\vec{v}_r = (0, 1, 1)$. - Un segundo vector que vaya desde el punto de la recta al punto $A$: $\vec{P_r A} = A - P_r$. Calculamos el vector $\vec{P_r A}$: $$\vec{P_r A} = (3-1, 2-1, 1-0) = (2, 1, 1)$$ Ahora hallamos el vector normal al plano $\pi_3$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_3 = \vec{v}_r \times \vec{P_r A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_3 = (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\mathbf{i} - (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1)\mathbf{j} + (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_3 = 0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (0, 2, -2)$$ Simplificamos el vector normal (dividiendo entre 2): $\vec{n}'_3 = (0, 1, -1)$. 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ nos da los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano $\pi_3$ será de la forma $0x + 1y - 1z + D = 0$, es decir, $y - z + D = 0$. Como el plano pasa por $A(3, 2, 1)$: $$2 - 1 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por lo tanto, la ecuación del plano $\pi_3$ es: $$\boxed{y - z - 1 = 0}$$ Alternativamente, se podría haber utilizado el haz de planos: $$\alpha(x - y + z) + \beta(x + y - z - 2) = 0$$ Sustituyendo $A(3, 2, 1)$: $$\alpha(3 - 2 + 1) + \beta(3 + 2 - 1 - 2) = 0 \implies 2\alpha + 2\beta = 0 \implies \alpha = -\beta$$ Tomando $\alpha=1, \beta=-1$ llegamos al mismo resultado: $x-y+z - (x+y-z-2) = -2y+2z+2 = 0$.