Cálculo de límites e integración por partes

**a) [1 p.] Calcule $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x)$.** Primero, evaluamos el límite directamente para determinar si existe alguna indeterminación: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x) = \sqrt{\infty^2 + 1} - \infty = \infty - \infty.$$ Nos encontramos ante una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolver límites con raíces cuadradas donde aparece esta resta, la técnica estándar es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión. 💡 **Tip:** El conjugado de $(A - B)$ es $(A + B)$. Al multiplicarlos, obtenemos una diferencia de cuadrados: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\sqrt{x^2 + 1} + x$: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$$ Aplicamos la identidad de la diferencia de cuadrados en el numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$$ Ahora evaluamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\frac{1}{\sqrt{\infty^2 + 1} + \infty} = \frac{1}{\infty} = 0.$$ ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{0}$$

**b) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida $\int x^2 \ln(x) dx$. Determine la primitiva de la función $f(x) = x^2 \ln(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(1,0)$.** Para calcular $\int x^2 \ln(x) dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla nemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). En nuestro caso: - Elegimos $u = \ln(x)$ (Logaritmo). - Elegimos $dv = x^2 \, dx$ (Polinomio). Calculamos los elementos restantes: $$u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} \, dx$$ $$dv = x^2 \, dx \implies v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

Aplicamos la fórmula de integración por partes: $$\int x^2 \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ Simplificamos el interior de la integral: $$\frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \left( \frac{x^3}{3} \right) + C = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C$$ ✅ **Resultado (Integral indefinida):** $$\boxed{\int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C}$$

Buscamos la primitiva $F(x)$ que pasa por el punto $(1,0)$, lo que significa que $F(1) = 0$. Sustituimos $x=1$ en la expresión general de la primitiva e igualamos a cero: $$F(1) = \frac{1^3}{3} \ln(1) - \frac{1^3}{9} + C = 0$$ Como $\ln(1) = 0$, la ecuación queda: $$0 - \frac{1}{9} + C = 0 \implies C = \frac{1}{9}$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + \frac{1}{9}}$$