Optimización del coste de una lata cilíndrica

**a) [1 p.] Si denotamos por $x$ el radio de las tapas y por $y$ la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por $10\pi x^2 + 6\pi xy$.** Primero, identificamos las partes que componen la superficie de la lata: 1. **Las dos tapas (superior e inferior):** Son dos círculos de radio $x$. El área de cada tapa es $\pi x^2$. $$A_{\text{tapas}} = 2 \cdot \pi x^2$$ 2. **La superficie lateral:** Si "desenrollamos" el cilindro, obtenemos un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia ($2\pi x$) y cuya altura es $y$. $$A_{\text{lateral}} = 2\pi x \cdot y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área de un círculo es $A = \pi r^2$ y la longitud de su circunferencia es $L = 2\pi r$.

Aplicamos el coste por centímetro cuadrado proporcionado en el enunciado: - Coste de las tapas: $5$ €/$cm^2$. - Coste de la superficie lateral: $3$ €/$cm^2$. El coste total $C(x,y)$ será la suma de los costes de cada parte: $$C(x,y) = A_{\text{tapas}} \cdot 5 + A_{\text{lateral}} \cdot 3$$ $$C(x,y) = (2\pi x^2) \cdot 5 + (2\pi xy) \cdot 3$$ $$C(x,y) = 10\pi x^2 + 6\pi xy$$ ✅ **Resultado (Demostración):** $$\boxed{C(x,y) = 10\pi x^2 + 6\pi xy}$$

**b) [1,5 p.] Si el volumen de la lata es $90\pi$ $cm^3$, determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.** El volumen de un cilindro es $V = \pi r^2 h$. En este caso: $$V = \pi x^2 y = 90\pi$$ Podemos simplificar $\pi$ en ambos lados y despejar la altura $y$ en función del radio $x$: $$x^2 y = 90 \implies y = \frac{90}{x^2}$$ Esta relación nos permite expresar el coste como una función de una sola variable ($x$): $$C(x) = 10\pi x^2 + 6\pi x \left( \frac{90}{x^2} \right)$$ $$C(x) = 10\pi x^2 + \frac{540\pi}{x}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con dos variables, siempre debemos usar la condición (restricción) para despejar una variable en función de la otra.

Para minimizar el coste, calculamos la primera derivada $C'(x)$ y buscamos sus raíces: $$C(x) = 10\pi x^2 + 540\pi x^{-1}$$ $$C'(x) = 20\pi x - 540\pi x^{-2} = 20\pi x - \frac{540\pi}{x^2}$$ Igualamos a cero: $$20\pi x - \frac{540\pi}{x^2} = 0 \implies 20\pi x = \frac{540\pi}{x^2}$$ Simplificamos $20\pi$: $$x = \frac{27}{x^2} \implies x^3 = 27 \implies x = \sqrt[3]{27} = 3$$ El punto crítico se encuentra en **$x = 3$ cm**.

Para comprobar que $x=3$ es un mínimo relativo, calculamos la segunda derivada $C''(x)$: $$C''(x) = (20\pi x - 540\pi x^{-2})' = 20\pi + 1080\pi x^{-3} = 20\pi + \frac{1080\pi}{x^3}$$ Evaluamos en $x=3$: $$C''(3) = 20\pi + \frac{1080\pi}{27} = 20\pi + 40\pi = 60\pi > 0$$ Al ser $C''(3) \gt 0$, confirmamos que hay un **mínimo** en $x = 3$. También podemos estudiar el signo de $C'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline C'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como la función decrece antes de $x=3$ y crece después, el mínimo es absoluto en el dominio $x \gt 0$. 💡 **Tip:** Si $f''(a) > 0$, entonces la función tiene un mínimo relativo en $x=a$.

Una vez hallado el radio óptimo $x = 3$ cm, calculamos la altura $y$ usando la relación del volumen: $$y = \frac{90}{x^2} = \frac{90}{3^2} = \frac{90}{9} = 10\text{ cm}$$ Las dimensiones que minimizan el coste son un radio de $3$ cm y una altura de $10$ cm. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Radio } x = 3 \text{ cm, Altura } y = 10 \text{ cm}}$$