Matriz inversa y ecuación matricial

**a) [1,5 p.] Compruebe que la matriz $A$ es regular (o inversible) y calcule su inversa.** Una matriz cuadrada es regular (inversible) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicando Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 2)$$ $$|A| = (2 + 0 + 0) - (1 + 0 + 0) = 2 - 1 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz $A$ es **regular**. 💡 **Tip:** Una matriz es regular, inversible o no singular si su determinante es distinto de cero. Si fuera cero, se llamaría matriz singular.

Para calcular la matriz inversa $A^{-1}$ usamos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^t$$ Primero, calculamos los adjuntos de los elementos de $A$ ($A_{ij}$): - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La traspuesta de la adjunta es: $$[Adj(A)]^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 1$, la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX - B = C^t$, donde $C^t$ denota la matriz traspuesta de $C$.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación: 1. Sumamos $B$ en ambos lados: $AX = C^t + B$ 2. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$A^{-1} (AX) = A^{-1} (C^t + B)$$ $$I \cdot X = A^{-1} (C^t + B)$$ $$X = A^{-1} (C^t + B)$$ 💡 **Tip:** El orden en la multiplicación de matrices es fundamental. Como $A$ está a la izquierda de $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

Calculamos primero la traspuesta de $C$ ($C^t$): $$C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la suma $C^t + B$: $$C^t + B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando $A^{-1}$ por el resultado anterior: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - Fila 1: $(2 \cdot -1) + (0 \cdot 0) + (-1 \cdot 1) = -2 - 1 = -3$; $(2 \cdot 1) + (0 \cdot -2) + (-1 \cdot 2) = 2 - 2 = 0$ - Fila 2: $(0 \cdot -1) + (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0$; $(0 \cdot 1) + (1 \cdot -2) + (0 \cdot 2) = -2$ - Fila 3: $(-1 \cdot -1) + (-1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) = 1 + 1 = 2$; $(-1 \cdot 1) + (-1 \cdot -2) + (1 \cdot 2) = -1 + 2 + 2 = 3$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}}$$