Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) [0,75 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única.** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de los coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 4 \\ 1 & -a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a+2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [ (a)(-a)(1) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) ] - [ (1)(-a)(1) + (a)(1)(1) + (1)(1)(1) ]$$ $$|A| = (-a^2 + 1 + 1) - (-a + a + 1) = -a^2 + 2 - 1 = -a^2 + 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 + 1 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Capelli, si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ e igual al número de incógnitas, por lo que el sistema será Compatible Determinado (solución única). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución única si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}}$$

**c) [0,75 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso $a = 1$. Sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Observamos las filas 1 y 3 de la matriz. Las ecuaciones correspondientes son: $$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + y + z = 3 \end{cases}$$ Esto es una contradicción evidente ($4 \neq 3$). Formalmente, el rango de $A$ es 2 (ya que $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$). Sin embargo, el rango de $A^*$ es 3, ya que el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4 es: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (-3 + 1 + 4) - (-4 + 1 + 3) = 2 - 0 = 2 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{a = 1}$$

**b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Analizamos el caso $a = -1$. Sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Las filas 2 y 3 son idénticas, por lo que una de ellas es redundante. El rango de $A$ es 2 (el menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$). El rango de $A^*$ también es 2 ya que todas las columnas son proporcionales a las de $A$ o combinación de ellas. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado (b - valor):** $$\boxed{a = -1}$$

Para resolver el sistema compatible indeterminado con $a = -1$, usamos las dos ecuaciones linealmente independientes: $$\begin{cases} -x + y + z = 4 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro $(\lambda \in \mathbb{R})$: $$\begin{cases} -x + y = 4 - \lambda \\ x + y = 1 - \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-x + y) + (x + y) = (4 - \lambda) + (1 - \lambda) \implies 2y = 5 - 2\lambda \implies y = \frac{5}{2} - \lambda$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$x + \left(\frac{5}{2} - \lambda\right) = 1 - \lambda \implies x = 1 - \lambda - \frac{5}{2} + \lambda \implies x = -\frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** Siempre indica que el parámetro $\lambda$ pertenece a los números reales para que la solución sea completa. ✅ **Solución para $a = -1$:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{5}{2} - \lambda, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$