Distribución normal: pesos de maletas

**(a) pese menos de $7,2\text{ kg}$ pero más de $7\text{ kg}$. (4 puntos)** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa el peso de una maleta en kg. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(7,5;\, 0,4)$$ Donde la media es $\mu = 7,5$ y la desviación típica es $\sigma = 0,4$. Para calcular probabilidades en una normal, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**, pasando de $X$ a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la tipificación permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar las probabilidades.

Queremos hallar $P(7 \lt X \lt 7,2)$. Tipificamos ambos valores del intervalo: - Para $x_1 = 7$: $z_1 = \dfrac{7 - 7,5}{0,4} = \dfrac{-0,5}{0,4} = -1,25$ - Para $x_2 = 7,2$: $z_2 = \dfrac{7,2 - 7,5}{0,4} = \dfrac{-0,3}{0,4} = -0,75$ Por tanto: $$P(7 \lt X \lt 7,2) = P(-1,25 \lt Z \lt -0,75)$$ Utilizando las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(-1,25 \lt Z \lt -0,75) = P(0,75 \lt Z \lt 1,25)$$ $$P(0,75 \lt Z \lt 1,25) = P(Z \le 1,25) - P(Z \le 0,75)$$ Buscamos los valores en la tabla de la $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1,25) = 0,8944$ - $P(Z \le 0,75) = 0,7734$ Calculamos la diferencia: $$0,8944 - 0,7734 = 0,1210$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(7 \lt X \lt 7,2) = 0,1210}$$

**(b) pese entre $7,8\text{ kg}$ y $8\text{ kg}$. (3 puntos)** Procedemos de la misma forma que en el apartado anterior, tipificando los nuevos valores: - Para $x_1 = 7,8$: $z_1 = \dfrac{7,8 - 7,5}{0,4} = \dfrac{0,3}{0,4} = 0,75$ - Para $x_2 = 8$: $z_2 = \dfrac{8 - 7,5}{0,4} = \dfrac{0,5}{0,4} = 1,25$ Entonces: $$P(7,8 \lt X \lt 8) = P(0,75 \lt Z \lt 1,25)$$ Observamos que este cálculo es idéntico al desarrollo final del apartado anterior: $$P(Z \le 1,25) - P(Z \le 0,75) = 0,8944 - 0,7734 = 0,1210$$ 💡 **Tip:** Debido a la simetría de la distribución normal respecto a su media, las áreas equidistantes a la media (una por debajo y otra por encima) tienen la misma probabilidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(7,8 \lt X \lt 8) = 0,1210}$$

**(c) Si en un trayecto hay 90 maletas, ¿cuántas maletas es de esperar que pesen al menos $8,1\text{ kg}$? (3 puntos)** Primero calculamos la probabilidad de que una maleta escogida al azar pese al menos $8,1\text{ kg}$, es decir, $P(X \ge 8,1)$. Tipificamos: $$z = \dfrac{8,1 - 7,5}{0,4} = \dfrac{0,6}{0,4} = 1,5$$ La probabilidad buscada es: $$P(X \ge 8,1) = P(Z \ge 1,5)$$ Como las tablas solo ofrecen $P(Z \le z)$, usamos el suceso complementario: $$P(Z \ge 1,5) = 1 - P(Z \le 1,5)$$ Buscamos en la tabla $1,5$ en la columna de $z$ y obtenemos $0,9332$: $$1 - 0,9332 = 0,0668$$ 💡 **Tip:** "Al menos" significa igual o mayor que ($\ge$).

Para hallar el número de maletas esperado en un grupo de $n = 90$, multiplicamos el número total por la probabilidad individual (esperanza de una distribución binomial $E = n \cdot p$): $$E = n \cdot P(X \ge 8,1)$$ $$E = 90 \cdot 0,0668 = 6,012$$ Al tratarse de maletas (objetos discretos), redondeamos al número entero más próximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es de esperar que } 6 \text{ maletas pesen al menos } 8,1\text{ kg}}$$