Probabilidad y Estadística 2021 Baleares
Probabilidad compuesta: Urnas y Teorema de Bayes
7. Se dispone de dos urnas: $U_1$ y $U_2$.
En $U_1$ hay: 4 bolas rojas y 5 bolas negras.
En $U_2$ hay: 6 bolas rojas y 3 bolas negras.
Al azar se saca una bola de $U_1$ y se introduce en $U_2$, a continuación se extrae al azar una bola de $U_2$. Calcula la probabilidad de que:
(a) salga una bola roja de $U_2$ (3 puntos)
(b) la bola extraída de $U_1$ sea negra, sabiendo que la bola que ha salido de $U_2$ también ha sido negra. (3 puntos)
(c) salga al menos una bola roja. (4 puntos)
Paso 1
Modelización del experimento y cálculo de probabilidad total
**(a) salga una bola roja de $U_2$ (3 puntos)**
Primero definimos los sucesos para la primera extracción de la urna $U_1$:
- $R_1$: extraer bola roja de $U_1$. $P(R_1) = \frac{4}{9}$.
- $N_1$: extraer bola negra de $U_1$. $P(N_1) = \frac{5}{9}$.
Al pasar la bola a $U_2$, la composición de esta cambia antes de la segunda extracción:
- Si sale $R_1$, en $U_2$ habrá 7 rojas y 3 negras (10 en total). Así, $P(R_2|R_1) = \frac{7}{10}$ y $P(N_2|R_1) = \frac{3}{10}$.
- Si sale $N_1$, en $U_2$ habrá 6 rojas y 4 negras (10 en total). Así, $P(R_2|N_1) = \frac{6}{10}$ y $P(N_2|N_1) = \frac{4}{10}$.
Representamos el experimento en un árbol de probabilidad:
Para calcular $P(R_2)$, usamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) + P(N_1) \cdot P(R_2|N_1)$$
$$P(R_2) = \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{10} + \frac{5}{9} \cdot \frac{6}{10} = \frac{28}{90} + \frac{30}{90} = \frac{58}{90}$$
Simplificando la fracción:
$$P(R_2) = \frac{29}{45}$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(R_2) = \frac{29}{45} \approx 0.6444}$$
Paso 2
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**(b) la bola extraída de $U_1$ sea negra, sabiendo que la bola que ha salido de $U_2$ también ha sido negra. (3 puntos)**
Nos piden la probabilidad de que la primera fuera negra dado que la segunda lo fue: $P(N_1|N_2)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(N_1|N_2) = \frac{P(N_1 \cap N_2)}{P(N_2)} = \frac{P(N_1) \cdot P(N_2|N_1)}{P(N_2)}$$
Primero calculamos $P(N_2)$, que es el suceso contrario a $P(R_2)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(N_2) = 1 - P(R_2) = 1 - \frac{29}{45} = \frac{16}{45}$$
Calculamos la intersección:
$$P(N_1 \cap N_2) = P(N_1) \cdot P(N_2|N_1) = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{10} = \frac{20}{90} = \frac{10}{45}$$
Sustituimos en la fórmula de Bayes:
$$P(N_1|N_2) = \frac{10/45}{16/45} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Si ya tienes calculada la probabilidad de un suceso, su complementario siempre es $1 - P(A)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N_1|N_2) = \frac{5}{8} = 0.625}$$
Paso 3
Probabilidad de al menos un éxito
**(c) salga al menos una bola roja. (4 puntos)**
El suceso "al menos una bola roja" es el suceso contrario a "ninguna bola roja", es decir, que ambas bolas extraídas sean negras ($N_1 \cap N_2$).
$$P(\text{al menos una Roja}) = 1 - P(N_1 \cap N_2)$$
Ya hemos calculado $P(N_1 \cap N_2)$ en el apartado anterior:
$$P(N_1 \cap N_2) = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$$
Por lo tanto:
$$P(\text{al menos una Roja}) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$
Podemos comprobarlo sumando los caminos favorables del árbol:
- $R_1 \cap R_2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{10} = \frac{28}{90}$
- $R_1 \cap N_2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{90}$
- $N_1 \cap R_2 = \frac{5}{9} \cdot \frac{6}{10} = \frac{30}{90}$
Suma: $\frac{28+12+30}{90} = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$.
💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", casi siempre es más rápido trabajar con el suceso contrario.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{al menos una Roja}) = \frac{7}{9} \approx 0.7778}$$