Intersección de rectas en el espacio

**(a) Calcula el valor de $m$ para que se corten en un punto. (7 puntos)** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta para analizar su posición relativa. Para la recta $r$ (en forma continua): - Punto $P_r = (m, -10, -3)$ - Vector director $\vec{v}_r = (-1, 4, 1)$ Para la recta $s$ (en forma paramétrica): - Punto $P_s = (1, 6, -1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (0, 4, 2)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que dos rectas se corten en un punto, deben ser coplanarias (estar en el mismo plano) y no ser paralelas. 1. **Comprobar si son paralelas:** Los vectores $\vec{v}_r = (-1, 4, 1)$ y $\vec{v}_s = (0, 4, 2)$ no son proporcionales (ya que $-1/0 \neq 4/4 \neq 1/2$). Por tanto, las rectas **no son paralelas**. 2. **Condición de coplanaridad:** Las rectas se cortarán si el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta es igual a cero. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1 - m, 6 - (-10), -1 - (-3)) = (1 - m, 16, 2)$$ La condición es: $\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = 0$.

Planteamos el determinante con los vectores obtenidos: $$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \\ 1-m & 16 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por Sarrus: $$[(-1) \cdot 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 \cdot (1-m) + 1 \cdot 0 \cdot 16] - [1 \cdot 4 \cdot (1-m) + (-1) \cdot 2 \cdot 16 + 4 \cdot 0 \cdot 2] = 0$$ $$[-8 + 8(1-m) + 0] - [4(1-m) - 32 + 0] = 0$$ $$-8 + 8 - 8m - 4 + 4m + 32 = 0$$ $$-4m + 28 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es cero y los vectores directores no son proporcionales, las rectas son secantes (se cortan en un punto).

Resolvemos la ecuación lineal para hallar $m$: $$-4m = -28 \implies m = \frac{-28}{-4} \implies m = 7$$ Por tanto, para que las rectas se corten en un punto, el parámetro $m$ debe ser $7$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{m = 7}$$

**(b) Calcula el punto de corte. (3 puntos)** Sustituimos $m = 7$ en la recta $r$ y escribimos ambas rectas en forma paramétrica para hallar el valor de los parámetros en el punto de intersección. Recta $r$: $\begin{cases} x = 7 - \mu \\ y = -10 + 4\mu \\ z = -3 + \mu \end{cases}$ Recta $s$: $\begin{cases} x = 1 \\ y = 6 + 4\lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}$ Igualamos las coordenadas $x$: $$7 - \mu = 1 \implies \mu = 6$$ Sustituimos $\mu = 6$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener el punto $P$: $$x = 7 - 6 = 1$$ $$y = -10 + 4(6) = -10 + 24 = 14$$ $$z = -3 + 6 = 3$$ Comprobamos en $s$ igualando las $y$ y $z$ con $\mu=6$: $$14 = 6 + 4\lambda \implies 4\lambda = 8 \implies \lambda = 2$$ $$z = -1 + 2(2) = 3$$ (Coincide con el valor de $z$ calculado anteriormente). 💡 **Tip:** Siempre es recomendable verificar el punto en ambas rectas para asegurar que los cálculos son correctos. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(1, 14, 3)}$$