Geometría en el espacio: puntos, áreas y ángulos

**(a) Determina el valor del parámetro $a$ para el cual los puntos $A, B$ y $C$ forman un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el punto $B$. (3 puntos)** Para que el triángulo sea rectángulo en el vértice $B$, los vectores que parten de dicho vértice, $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BC}$, deben ser perpendiculares. Esto implica que su producto escalar debe ser igual a cero. Primero, calculamos los componentes de ambos vectores: $$\overrightarrow{BA} = A - B = (5 - 3, a - (-1), 7 - 7) = (2, a + 1, 0)$$ $$\overrightarrow{BC} = C - B = (6 - 3, 5 - (-1), 4 - 7) = (3, 6, -3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Aplicamos la condición de producto escalar nulo: $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$ $$(2, a + 1, 0) \cdot (3, 6, -3) = 0$$ Desarrollamos la operación: $$2 \cdot 3 + (a + 1) \cdot 6 + 0 \cdot (-3) = 0$$ $$6 + 6a + 6 + 0 = 0$$ $$12 + 6a = 0$$ Resolvemos para $a$: $$6a = -12 \implies a = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2}$$

**(b) Para el valor de $a = -2$, calcula el área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$. (3 puntos)** El área de un triángulo con vértices $A, B$ y $C$ se puede calcular mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que compartan un vértice: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}|$$ Para $a = -2$, el vector $\overrightarrow{BA}$ es: $$\overrightarrow{BA} = (2, -2 + 1, 0) = (2, -1, 0)$$ El vector $\overrightarrow{BC}$ sigue siendo: $$\overrightarrow{BC} = (3, 6, -3)$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 6 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$= [(-1)(-3)\vec{i} + 0\vec{j} + (2)(6)\vec{k}] - [(-1)(3)\vec{k} + 0\vec{i} + (2)(-3)\vec{j}]$$ $$= 3\vec{i} + 12\vec{k} - (-3\vec{k} - 6\vec{j}) = 3\vec{i} + 6\vec{j} + 15\vec{k}$$ $$\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} = (3, 6, 15)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 15^2} = \sqrt{9 + 36 + 225} = \sqrt{270}$$ Simplificamos la raíz: $$\sqrt{270} = \sqrt{9 \cdot 30} = 3\sqrt{30}$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{3\sqrt{30}}{2} \approx 8.216 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{3\sqrt{30}}{2} \text{ u}^2}$$

**(c) Para el valor de $a = 5$, calcula el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. (4 puntos)** Primero definimos los vectores solicitados para $a = 5$: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 5, -1 - 5, 7 - 7) = (-2, -6, 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (6 - 5, 5 - 5, 4 - 7) = (1, 0, -3)$$ Para hallar el ángulo $\alpha$ entre ellos, utilizaremos la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos vectores siempre se calcula a través de su producto escalar y sus módulos.

1. Calculamos el producto escalar: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 1 + (-6) \cdot 0 + 0 \cdot (-3) = -2$$ 2. Calculamos los módulos: $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$$ $$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{-2}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-2}{\sqrt{400}} = \frac{-2}{20} = -0.1$$ 4. Despejamos el ángulo: $$\alpha = \arccos(-0.1) \approx 95.74^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \approx 95.74^\circ}$$