Cálculo de primitiva y área delimitada

**(a) Calcula una primitiva de $f(x)$. (5 puntos)** Para calcular una primitiva de $f(x)$, debemos integrar la función: $$F(x) = \int \frac{-x}{4 - x^2} dx$$ Observamos que el numerador es casi la derivada del denominador. La derivada de $4 - x^2$ es $-2x$. Nosotros tenemos $-x$ en el numerador, por lo que podemos ajustar la expresión multiplicando y dividiendo por $2$ para obtener una integral de tipo logarítmico. $$\int \frac{-x}{4 - x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{-2x}{4 - x^2} dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función cuya derivada está en el numerador es un logaritmo neperiano: $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C$.

Aplicamos la regla del logaritmo neperiano: $$F(x) = \frac{1}{2} \ln|4 - x^2| + C$$ Como el enunciado nos pide calcular "una" primitiva, podemos elegir cualquier valor para la constante $C$. Por simplicidad, tomamos $C = 0$. ✅ **Resultado (una primitiva):** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2} \ln|4 - x^2|}$$

**(b) Calcula el área delimitada por la gráfica de $f(x)$, las rectas $x = \sqrt{5}$ y $x = \sqrt{6}$, y el eje $X$. (5 puntos)** Para calcular el área, primero debemos comprobar si la función $f(x)$ corta al eje $X$ en el intervalo $(\sqrt{5}, \sqrt{6})$ y cuál es su signo. 1. **Cortes con el eje X:** $f(x) = 0 \implies -x = 0 \implies x = 0$. El único punto de corte es $x = 0$, que está fuera del intervalo $[\sqrt{5}, \sqrt{6}]$. 2. **Signo de la función:** - En el intervalo $[\sqrt{5}, \sqrt{6}]$, el numerador $-x$ es negativo (ya que $x > 0$). - El denominador $4 - x^2$ es negativo, porque si $x > \sqrt{5}$, entonces $x^2 > 5$, y $4 - x^2 < 4 - 5 = -1$. - Como el numerador y el denominador son negativos, la función $f(x)$ es **positiva** en todo el intervalo. Por tanto, el área $A$ vendrá dada por la integral definida: $$A = \int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{6}} \frac{-x}{4 - x^2} dx$$

Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior $F(x) = \frac{1}{2} \ln|4 - x^2|$ y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{1}{2} \ln|4 - x^2| \right]_{\sqrt{5}}^{\sqrt{6}}$$ Calculamos los valores en los límites de integración: - Para $x = \sqrt{6}$: $F(\sqrt{6}) = \frac{1}{2} \ln|4 - (\sqrt{6})^2| = \frac{1}{2} \ln|4 - 6| = \frac{1}{2} \ln|-2| = \frac{1}{2} \ln(2)$ - Para $x = \sqrt{5}$: $F(\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \ln|4 - (\sqrt{5})^2| = \frac{1}{2} \ln|4 - 5| = \frac{1}{2} \ln|-1| = \frac{1}{2} \ln(1) = 0$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Recuerda también que $\ln(1) = 0$. Restamos los resultados: $$A = \frac{1}{2} \ln(2) - 0 = \frac{1}{2} \ln(2)$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{1}{2} \ln(2) \approx 0.3466 \text{ u}^2}$$