Estudio y representación de la función racional $1/x^4$ y Teorema de Rolle

**(a) Represéntala gráficamente. (7 puntos)** Para representar la función $f(x) = \frac{1}{x^4}$, primero analizamos su dominio y posibles simetrías. **Dominio:** La función es una fracción cuyo denominador es $x^4$. El denominador se anula en $x = 0$. Por tanto: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ **Simetría:** Comprobamos si la función es par o impar: $$f(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = f(x)$$ Como $f(-x) = f(x)$, la función es **par**, lo que significa que es simétrica respecto al eje $Y$. 💡 **Tip:** Las funciones pares son más fáciles de representar porque basta con estudiar el comportamiento en el lado positivo del eje $X$ y reflejarlo en el negativo.

Analizamos el comportamiento de la función en los extremos del dominio. **Asíntotas Verticales (AV):** Evaluamos el límite cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, existe una **asíntota vertical en $x = 0$** (el eje $Y$). **Asíntotas Horizontales (AH):** Evaluamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^4} = 0$$ Por tanto, existe una **asíntota horizontal en $y = 0$** (el eje $X$). ✅ **Asintotas:** $$\boxed{x = 0 \text{ (AV)}, \quad y = 0 \text{ (AH)}}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada. Escribimos la función como una potencia para derivar más fácil: $f(x) = x^{-4}$. $$f'(x) = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio: - Si $x \lt 0$: El denominador $x^5$ es negativo, por lo que $f'(x) = \frac{-4}{-} \gt 0$. La función es **creciente**. - Si $x \gt 0$: El denominador $x^5$ es positivo, por lo que $f'(x) = \frac{-4}{+} \lt 0$. La función es **decreciente**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & \nexists & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{AV} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** No hay puntos críticos (donde $f'(x)=0$) porque el numerador es una constante distinta de cero.

Calculamos la segunda derivada para determinar la curvatura: $$f''(x) = (-4x^{-5})' = (-4)(-5)x^{-6} = 20x^{-6} = \frac{20}{x^6}$$ Como $x^6 \gt 0$ para cualquier $x \in \text{Dom}(f)$, entonces $f''(x) \gt 0$ en todo su dominio. Esto implica que la función es **convexa (cóncava hacia arriba)** en todo su dominio. No presenta puntos de inflexión. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{La función es convexa en } (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}$$

Combinando toda la información anterior (asíntotas, monotonía, curvatura y simetría par), obtenemos la siguiente gráfica:

**(b) Comprueba que $f(2) = f(-2)$. (1 punto)** Sustituimos los valores en la expresión de la función: Para $x = 2$: $$f(2) = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$$ Para $x = -2$: $$f(-2) = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$$ Efectivamente, ambos valores coinciden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(2) = f(-2) = \frac{1}{16}}$$

**(c) Comprueba que no existe $c \in [-2, 2]$ tal que $f'(c) = 0$. (1 punto)** Retomamos la expresión de la derivada hallada en el apartado (a): $$f'(x) = -\frac{4}{x^5}$$ Para que $f'(c) = 0$, el numerador de la expresión debería ser cero: $$-4 = 0$$ Esto es una **contradicción**, lo que significa que la derivada nunca se anula. Por tanto, no existe ningún valor $c$ en el intervalo $[-2, 2]$ (ni en ningún otro lugar) donde la pendiente de la recta tangente sea cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\nexists c \in [-2, 2] / f'(c) = 0}$$

**(d) ¿Hay una contradicción con la conclusión del teorema de Rolle? (1 punto)** Recordemos las hipótesis del **Teorema de Rolle**: Para que exista un $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. $f(x)$ debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. $f(x)$ debe ser derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. $f(a) = f(b)$. En nuestro caso, tenemos el intervalo $[-2, 2]$. Aunque se cumple la tercera condición ($f(2) = f(-2)$), la función **no es continua en $x = 0$**, ya que tiene una asíntota vertical en ese punto. Como $0 \in [-2, 2]$, la función no es continua en el intervalo cerrado. Al no cumplirse las hipótesis, el teorema no es aplicable. **Conclusión:** No hay ninguna contradicción, simplemente no se pueden aplicar las garantías del teorema porque la función no es continua en todo el intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay contradicción: no se cumple la hipótesis de continuidad en } x=0}$$