Operaciones con matrices, ecuaciones matriciales y conmutatividad

**(a) Calcula $A^t$, $A^2$ y $A^{-1}$, donde $A^t$ es la matriz transpuesta y $A^{-1}$ la inversa. (3 puntos)** La matriz transpuesta $A^t$ se obtiene intercambiando las filas por columnas (o viceversa). Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, entonces: $$\boxed{A^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^2$, realizamos el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: - Elemento (1,1): $1\cdot 1 + 1\cdot 2 = 1 + 2 = 3$ - Elemento (1,2): $1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1 + 1 = 2$ - Elemento (2,1): $2\cdot 1 + 1\cdot 2 = 2 + 2 = 4$ - Elemento (2,2): $2\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2 + 1 = 3$ $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^{-1}$, primero hallamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot 2) = 1 - 2 = -1.$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{adj}(A)$: $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ La inversa viene dada por $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} (\text{adj}(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}}$$

**(b) Sea $I$ la matriz identidad. Resuelve $X$ de la ecuación $A^2 - 2AX + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}. (3 puntos)** Llamamos $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$ para simplificar la notación. La ecuación es: $$A^2 - 2AX + I = C$$ Despejamos el término que contiene a $X$: $$A^2 + I - C = 2AX$$ Multiplicamos por $A^{-1}$ por la **izquierda** en ambos lados de la igualdad: $$A^{-1}(A^2 + I - C) = A^{-1}(2AX)$$ $$A^{-1}A^2 + A^{-1}I - A^{-1}C = 2(A^{-1}A)X$$ $$A + A^{-1} - A^{-1}C = 2IX = 2X$$ Por tanto: $$X = \frac{1}{2}(A + A^{-1} - A^{-1}C)$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Primero calculamos la matriz $M = A^2 + I - C$ (alternativa más sencilla): $$M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1-2 & 2+0-0 \\ 4+0-0 & 3+1-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$$ Ahora resolvemos $2AX = M \implies AX = \frac{1}{2}M$: $$AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $$X = A^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto: - Fila 1: $(-1)(1) + (1)(2) = 1$; $(-1)(1) + (1)(4) = 3$ - Fila 2: $(2)(1) + (-1)(2) = 0$; $(2)(1) + (-1)(4) = -2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}}$$

**(c) Calcula todas las matrices $B$ para las cuales se tiene que $A \cdot B = B \cdot A^t (4 puntos)** Sea $B$ una matriz genérica de dimensiones $2 \times 2$: $$B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $A \cdot B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ 2a+c & 2b+d \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $B \cdot A^t$: $$B \cdot A^t = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{pmatrix}$$

Igualamos término a término las matrices resultantes: 1) $a + c = a + b \implies c = b$ 2) $b + d = 2a + b \implies d = 2a$ 3) $2a + c = c + d \implies 2a = d$ 4) $2b + d = 2c + d \implies 2b = 2c \implies b = c$ Observamos que las ecuaciones son consistentes y se reducen a: - $c = b$ - $d = 2a$ Por tanto, la matriz $B$ depende de dos parámetros libres, $a$ y $b$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix} \quad \forall a, b \in \mathbb{R}}$$