Estudio del rango de una matriz con parámetros y resolución de sistema

**(a) Estudia el rango de la matriz $A$ según los valores de $a$. (6 puntos)** Para estudiar el rango de la matriz $A$, primero calculamos su determinante en función del parámetro $a$. Aplicaremos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (a^2 \cdot a^2 \cdot a^2) + (a \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot a \cdot 1) - (a \cdot a^2 \cdot a) - (1 \cdot 1 \cdot a^2) - (a^2 \cdot a \cdot a)$$ $$|A| = a^6 + a^2 + a^2 - (a^4 + a^2 + a^4) = a^6 + 2a^2 - 2a^4 - a^2$$ $$|A| = a^6 - 2a^4 + a^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Para analizar cuándo el determinante es cero, factorizamos la expresión obtenida: $$|A| = a^2(a^4 - 2a^2 + 1)$$ Observamos que el paréntesis es una identidad notable (un cuadrado perfecto): $(a^2 - 1)^2$. $$|A| = a^2(a^2 - 1)^2 = a^2(a - 1)^2(a + 1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2(a - 1)^2(a + 1)^2 = 0 \implies a = 0, \quad a = 1, \quad a = -1$$ Estos son los valores donde el rango de $A$ será menor que 3.

Analizamos el rango de $A$ para cada valor hallado: **Caso 1: $a \neq 0$, $a \neq 1$ y $a \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz es máximo. $$\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\} \implies \text{rango}(A) = 3$$ **Caso 2: $a = 0$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ **Caso 3: $a = 1$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como todas las filas son iguales, cualquier determinante de orden 2 será 0. Solo hay elementos distintos de cero (orden 1). $$\text{rango}(A) = 1$$ **Caso 4: $a = -1$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que $F_2 = -F_1$ y $F_3 = -F_1$. Las filas son proporcionales. $$\text{rango}(A) = 1$$ ✅ **Resultado (estudio del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 0, 1, -1 & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } a = 0 & \text{rango}(A) = 2 \\ \text{Si } a = 1 \text{ o } a = -1 & \text{rango}(A) = 1 \end{cases}}$$

**(b) Determina para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible. (1 punto)** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Basándonos en el cálculo del apartado anterior: $$|A| = a^2(a-1)^2(a+1)^2$$ El determinante es nulo para $a=0$, $a=1$ y $a=-1$. Por tanto, la matriz es invertible para todos los demás valores de la recta real. 💡 **Tip:** Recuerda que $A^{-1}$ existe $\iff \text{det}(A) \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ es invertible si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}}$$

**(c) Para el valor de $a = -1$ calcula la solución, $X$, de la ecuación matricial $A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. (3 puntos)** Sustituimos $a = -1$ en la matriz $A$ y planteamos el sistema homogéneo donde $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$$ Esto equivale al sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ -x + y + z = 0 \\ -x + y + z = 0 \end{cases}$$ Como vimos en el apartado (a), para $a=-1$ el $\text{rango}(A) = 1$. Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser un sistema homogéneo con rango menor que el número de incógnitas (3), es un **Sistema Compatible Indeterminado** con $3 - 1 = 2$ parámetros.

Dado que las tres ecuaciones son proporcionales, el sistema se reduce a una única ecuación: $$x - y - z = 0 \implies x = y + z$$ Asignamos parámetros a las variables libres $y$ y $z$: $y = \lambda$ $z = \mu$ Entonces, $x = \lambda + \mu$. La solución general es: $$X = \begin{pmatrix} \lambda + \mu \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix} \text{ con } \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \lambda + \mu \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix} \text{ con } \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$