Probabilidades en una distribución normal de alturas

**(a) sobrepase los $170\text{ cm}$. (3 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria que modela el problema: $X =$ "Altura de una persona de la clase en cm". El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 160$ y desviación típica $\sigma = 10$: $$X \sim N(160, 10)$$ Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos transformarla en la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 160}{10}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar las probabilidades deseadas.

Queremos calcular la probabilidad de que la altura sobrepase los $170\text{ cm}$, es decir, $P(X \gt 170)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 170) = P\left(Z \gt \frac{170 - 160}{10}\right) = P(Z \gt 1)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen dar el área a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor para $z = 1,00$, obtenemos $P(Z \le 1) = 0,8413$. $$P(X \gt 170) = 1 - 0,8413 = 0,1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 170) = 0,1587}$$

**(b) sea menor que $155\text{ cm}$. (3 puntos)** Calculamos la probabilidad de que la altura sea inferior a $155\text{ cm}$, esto es $P(X \lt 155)$. Tipificamos: $$P(X \lt 155) = P\left(Z \lt \frac{155 - 160}{10}\right) = P(Z \lt -0,5)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de un valor negativo a la izquierda es igual a la probabilidad del valor positivo a la derecha: $$P(Z \lt -0,5) = P(Z \gt 0,5)$$ Y de nuevo, aplicando el complementario: $$P(Z \gt 0,5) = 1 - P(Z \le 0,5)$$ Buscamos en la tabla $z = 0,50$, que es $0,6915$: $$P(X \lt 155) = 1 - 0,6915 = 0,3085$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas un valor negativo $P(Z \lt -k)$, puedes convertirlo directamente en $1 - P(Z \le k)$ por simetría. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 155) = 0,3085}$$

**(c) esté comprendida entre $155\text{ cm}$ y $170\text{ cm}$ (4 puntos)** Se pide la probabilidad de que la altura se encuentre en el intervalo $[155, 170]$: $$P(155 \le X \le 170)$$ Esta probabilidad se calcula restando las probabilidades acumuladas hasta los extremos: $$P(155 \le X \le 170) = P(X \le 170) - P(X \lt 155)$$ Ya conocemos ambos valores de los apartados anteriores (o sus tipificaciones): 1. $P(X \le 170) = P(Z \le 1) = 0,8413$ 2. $P(X \lt 155) = 0,3085$ (calculado en el apartado b) Restamos: $$P(155 \le X \le 170) = 0,8413 - 0,3085 = 0,5328$$ 💡 **Tip:** Para un intervalo $(a, b)$, la fórmula general es $P(a \lt X \lt b) = P(X \lt b) - P(X \lt a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(155 \le X \le 170) = 0,5328}$$