Probabilidad y Estadística 2021 Baleares
Probabilidad condicionada y experimentos sin devolución
7. En una urna hay 12 bolas rojas, 8 bolas blancas y 5 bolas azules. Se realiza el experimento aleatorio de extraer dos bolas, consecutivamente y sin devolución a la urna. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
(a) $A =$ "las dos bolas son rojas" (2 puntos)
(b) $B =$ "las dos bolas son del mismo color" (3 puntos)
(c) $C =$ "al menos una bola es roja" (3 puntos)
(d) $D =$ "ninguna de las dos bolas es roja" (2 puntos)
Paso 1
Análisis de datos y diagrama de árbol
Primero, determinamos el número total de bolas en la urna:
$$N = 12 \text{ (rojas)} + 8 \text{ (blancas)} + 5 \text{ (azules)} = 25 \text{ bolas}$$
Como las extracciones son **sin devolución**, la composición de la urna cambia tras la primera bola. Definimos los sucesos:
- $R_i$: extraer bola roja en la extracción $i$.
- $W_i$: extraer bola blanca en la extracción $i$.
- $B_i$: extraer bola azul en la extracción $i$.
Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Apartado (a): Las dos bolas son rojas
**(a) $A =$ "las dos bolas son rojas" (2 puntos)**
El suceso $A$ equivale a que la primera sea roja ($R_1$) y la segunda también sea roja ($R_2$). Aplicamos la probabilidad de la intersección (probabilidad compuesta):
$$P(A) = P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1)$$
- $P(R_1) = \dfrac{12}{25}$ (hay 12 rojas de 25 totales).
- $P(R_2|R_1) = \dfrac{11}{24}$ (quedan 11 rojas de 24 bolas tras la primera extracción).
$$P(A) = \frac{12}{25} \cdot \frac{11}{24} = \frac{132}{600}$$
Simplificamos dividiendo entre 12:
$$P(A) = \frac{11}{50} = 0.22$$
💡 **Tip:** En experimentos sin devolución, el denominador disminuye en 1 para la segunda extracción porque hay una bola menos en la urna.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A) = 0.22}$$
Paso 3
Apartado (b): Las dos bolas son del mismo color
**(b) $B =$ "las dos bolas son del mismo color" (3 puntos)**
Este suceso ocurre si ambas son rojas ($RR$), ambas blancas ($WW$) o ambas azules ($BB$):
$$P(B) = P(R_1 R_2) + P(W_1 W_2) + P(B_1 B_2)$$
Calculamos cada probabilidad individualmente:
- $P(R_1 R_2) = \dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{11}{24} = \dfrac{132}{600}$
- $P(W_1 W_2) = \dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{7}{24} = \dfrac{56}{600}$
- $P(B_1 B_2) = \dfrac{5}{25} \cdot \dfrac{4}{24} = \dfrac{20}{600}$
Sumamos las probabilidades:
$$P(B) = \frac{132 + 56 + 20}{600} = \frac{208}{600}$$
Simplificamos:
$$P(B) = \frac{26}{75} \approx 0.3467$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = \frac{26}{75} \approx 0.3467}$$
Paso 4
Apartado (d): Ninguna de las dos es roja
**(d) $D =$ "ninguna de las dos bolas es roja" (2 puntos)**
Resolvemos primero el apartado (d) para facilitar el (c). Que ninguna sea roja significa que ambas se extraen del grupo de bolas blancas y azules ($8 + 5 = 13$ bolas no rojas).
Sea $R^c$ el suceso "no roja":
$$P(D) = P(R_1^c \cap R_2^c) = P(R_1^c) \cdot P(R_2^c|R_1^c)$$
- $P(R_1^c) = \dfrac{13}{25}$
- $P(R_2^c|R_1^c) = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}$ (quedan 12 bolas no rojas de un total de 24).
$$P(D) = \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} = \frac{13}{25} \cdot \frac{1}{2} = \frac{13}{50} = 0.26$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0.26}$$
Paso 5
Apartado (c): Al menos una bola es roja
**(c) $C =$ "al menos una bola es roja" (3 puntos)**
El suceso "al menos una" es el suceso contrario de "ninguna". Por tanto, usamos el complementario del suceso $D$ calculado anteriormente:
$$P(C) = 1 - P(D)$$
Como $P(D) = 0.26$:
$$P(C) = 1 - 0.26 = 0.74$$
💡 **Tip:** Siempre que te pidan la probabilidad de "al menos uno", intenta calcularla mediante $1 - P(\text{ninguno})$, suele ser mucho más rápido que sumar todos los casos favorables.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C) = 0.74}$$