Geometría en el espacio: puntos, planos y áreas

**(a) Comprueba que $P, Q$ y $R$ no están alineados. (2 puntos)** Tres puntos no están alineados si los vectores que forman entre ellos no son proporcionales. Calculamos los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 - 1, 1 - 0, 0 - 1) = (0, 1, -1)$$ $$\vec{PR} = R - P = (0 - 1, 1 - 0, 1 - 1) = (-1, 1, 0)$$ Para que estén alineados, sus componentes deberían ser proporcionales: $$\frac{0}{-1} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{-1}{0}$$ Como las componentes no guardan la misma proporción, los vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si el producto vectorial $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ es distinto de cero, los puntos no están alineados, ya que el área del paralelogramo que forman no sería nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos } P, Q \text{ y } R \text{ no están alineados.}}$$

**(b) Calcula la ecuación vectorial del plano que determinan $P, Q$ y $R$. (3 puntos)** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Usaremos: - Punto: $P(1, 0, 1)$ - Vector director 1: $\vec{u} = \vec{PQ} = (0, 1, -1)$ - Vector director 2: $\vec{v} = \vec{PR} = (-1, 1, 0)$ La ecuación vectorial del plano $\pi$ viene dada por la expresión: $$(x, y, z) = P + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$$ Sustituyendo los datos: $$(x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda (0, 1, -1) + \mu (-1, 1, 0) \quad \text{con } \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que puedes usar cualquier punto de los tres dados ($P, Q$ o $R$) y cualquier combinación de vectores entre ellos para obtener ecuaciones equivalentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda(0, 1, -1) + \mu(-1, 1, 0)}$$

**(c) Calcula el área del triángulo que tiene por vértices $P, Q$ y $R$. (3 puntos)** El área de un triángulo con vértices $P, Q$ y $R$ se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores de posición: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$$ Primero, calculamos el producto vectorial utilizando un determinante: $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (0 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)\vec{i} - (0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1))\vec{j} + (0 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)\vec{k}$$ $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = 1\vec{i} - (-1)\vec{j} + 1\vec{k} = (1, 1, 1)$$ Ahora calculamos su módulo: $$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ Finalmente, el área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial nos da el área del paralelogramo. Al dividir por 2, obtenemos el área del triángulo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \text{ u}^2}$$

**(d) Calcula, de forma razonada, la condición que han de cumplir $a, b$ y $c$ para que los puntos $P, Q, R$ y $S = (a, b, c)$ pertenezcan a un mismo plano. (2 puntos)** Para que cuatro puntos $P, Q, R, S$ sean coplanarios, el vector $\vec{PS}$ debe ser linealmente dependiente de $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$. Esto equivale a decir que el determinante formado por estos tres vectores debe ser igual a cero. Calculamos $\vec{PS}$: $$\vec{PS} = S - P = (a - 1, b - 0, c - 1) = (a - 1, b, c - 1)$$ Planteamos el determinante: $$\begin{vmatrix} a - 1 & b & c - 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$(a - 1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + (c - 1) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(a - 1)(0 + 1) - b(0 - 1) + (c - 1)(0 + 1) = 0$$ $$(a - 1) + b + (c - 1) = 0$$ $$a + b + c - 2 = 0$$ Esta es la ecuación general (o implícita) del plano que pasa por $P, Q$ y $R$. Cualquier punto $S(a, b, c)$ que satisfaga esta relación pertenecerá al mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a + b + c = 2}$$