Geometría en el espacio: Rectas y planos

**(a) Calcula la ecuación vectorial de cada una de las rectas (I) y (II). (1 punto)** Para hallar la ecuación vectorial de una recta, necesitamos un punto $P$ y un vector director $\vec{v}$. **Recta (I):** La recta viene dada por $\begin{cases} y = x + 3 \\ z = 2x + 2 \end{cases}$. Usamos $x$ como parámetro $\lambda$: - Si $x = \lambda$, entonces $y = 3 + \lambda$ y $z = 2 + 2\lambda$. El punto es $P_I(0, 3, 2)$ y el vector director es $\vec{v}_I(1, 1, 2)$. **Recta (II):** La recta viene dada por $\begin{cases} y = -\frac{1}{2} \\ x = 2z + 3 \end{cases}$. Usamos $z$ como parámetro $\mu$: - Si $z = \mu$, entonces $x = 3 + 2\mu$ e $y = -\frac{1}{2}$. El punto es $P_{II}(3, -\frac{1}{2}, 0)$ y el vector director es $\vec{v}_{II}(2, 0, 1)$. 💡 **Tip:** La ecuación vectorial se expresa como $(x, y, z) = (p_1, p_2, p_3) + \lambda(v_1, v_2, v_3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(I) \equiv (x, y, z) = (0, 3, 2) + \lambda(1, 1, 2)}$$ $$\boxed{(II) \equiv (x, y, z) = \left(3, -\frac{1}{2}, 0\right) + \mu(2, 0, 1)}$$

**(b) Si es posible, calcula el plano paralelo a la recta (II) que contiene a la recta (I). (3 puntos)** Para que un plano $\pi$ contenga a la recta (I) y sea paralelo a la recta (II), su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v}_I$ y $\vec{v}_{II}$). Calculamos el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_I \times \vec{v}_{II} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$$ $$\vec{n}_\pi = 1\vec{i} - (-3)\vec{j} - 2\vec{k} = (1, 3, -2)$$ Como el plano contiene a la recta (I), pasa por el punto $P_I(0, 3, 2)$. La ecuación del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$1(x - 0) + 3(y - 3) - 2(z - 2) = 0$$ $$x + 3y - 9 - 2z + 4 = 0 \implies x + 3y - 2z - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si las rectas fueran paralelas, este plano no sería único. En este caso, al no ser vectores proporcionales y no cortarse (se puede comprobar que son cruzadas), el plano existe y es único. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv x + 3y - 2z - 5 = 0}$$

**(c) Calcula el plano perpendicular a la recta (II) que pasa por el punto $(-1, 0, 2)$. (3 puntos)** Si un plano $\sigma$ es perpendicular a una recta, el vector director de la recta es el vector normal del plano. Por tanto: $$\vec{n}_\sigma = \vec{v}_{II} = (2, 0, 1)$$ La ecuación general del plano será de la forma $2x + 0y + 1z + D = 0$. Imponemos que pase por el punto $Q(-1, 0, 2)$: $$2(-1) + 0(0) + 1(2) + D = 0$$ $$-2 + 2 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano es $2x + z = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ corresponden a las componentes del vector normal al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma \equiv 2x + z = 0}$$

**(d) Calcula la recta de dirección perpendicular a las de las rectas (I) y (II) que pasa por el origen. (3 puntos)** Buscamos una recta $r$ cuyo vector director $\vec{v}_r$ sea perpendicular a $\vec{v}_I$ y $\vec{v}_{II}$. Este vector es el que ya hemos calculado en el apartado (b) mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{v}_I \times \vec{v}_{II} = (1, 3, -2)$$ La recta pasa por el origen $O(0, 0, 0)$. Su ecuación vectorial es: $$(x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 3, -2)$$ O en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = -2t \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = t(1, 3, -2)}$$