Estudio de la evolución de una población

**(a) Calcula la población que había el 1 de enero del año 2000. (2 puntos)** El enunciado indica que $t$ representa el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000. Por tanto, para calcular la población en esa fecha exacta, debemos evaluar la función en $t = 0$. Sustituimos $t = 0$ en la función $P(t)$: $$P(0) = \frac{15 + 0^2}{(0 + 1)^2} = \frac{15}{1^2} = 15.$$ Como la función expresa el resultado en millones de individuos, la población inicial es de 15 millones. 💡 **Tip:** En problemas de evolución temporal, el instante inicial siempre corresponde a $t=0$ a menos que se indique lo contrario. ✅ **Resultado:** $$\boxed{15 \text{ millones de individuos}}$$

**(b) Prueba que el número de individuos de la población alcanza un mínimo. ¿En qué año se alcanza este mínimo? ¿Cuántos individuos habrá el año del mínimo? (4 puntos)** Para encontrar los extremos relativos (máximos o mínimos), primero calculamos la derivada de la función $P(t)$ utilizando la regla del cociente: $$P'(t) = \frac{(15+t^2)' \cdot (t+1)^2 - (15+t^2) \cdot [(t+1)^2]'}{((t+1)^2)^2}$$ $$P'(t) = \frac{2t(t+1)^2 - (15+t^2) \cdot 2(t+1)}{(t+1)^4}$$ Podemos simplificar dividiendo numerador y denominador por $(t+1)$: $$P'(t) = \frac{2t(t+1) - 2(15+t^2)}{(t+1)^3} = \frac{2t^2 + 2t - 30 - 2t^2}{(t+1)^3}$$ $$P'(t) = \frac{2t - 30}{(t+1)^3} = \frac{2(t - 15)}{(t+1)^3}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Siempre intenta simplificar factores comunes antes de operar el numerador para facilitar los cálculos.

Para hallar el mínimo, buscamos los puntos donde la derivada es cero: $$P'(t) = 0 \implies 2(t - 15) = 0 \implies t = 15.$$ Analizamos el signo de $P'(t)$ alrededor de $t=15$ para confirmar que es un mínimo, teniendo en cuenta que el dominio es $t \geq 0$. Notamos que el denominador $(t+1)^3$ es siempre positivo para $t \geq 0$, por lo que el signo depende solo del numerador $2(t-15)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & [0, 15) & 15 & (15, +\infty)\\ \hline P'(t) & - & 0 & +\\ \hline P(t) & \searrow & \text{mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $[0, 15)$, $P'(t) \lt 0$, la función es decreciente. - En el intervalo $(15, +\infty)$, $P'(t) \gt 0$, la función es creciente. Al decrecer antes y crecer después, en $t=15$ hay un **mínimo absoluto** para la población.

Sabiendo que el mínimo ocurre en $t = 15$: 1. **Año:** Como $t$ mide los años desde el 2000, el mínimo se alcanza en $2000 + 15 = 2015$. 2. **Cantidad de individuos:** Evaluamos $P(15)$: $$P(15) = \frac{15 + 15^2}{(15 + 1)^2} = \frac{15 + 225}{16^2} = \frac{240}{256} = 0,9375.$$ Multiplicamos por un millón para obtener la cifra real: $$0,9375 \cdot 1.000.000 = 937.500 \text{ individuos.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Año: 2015. Población: 0,9375 millones (937.500 individuos)}}$$

**(c) Calcula el tamaño de la población, esto es el número de individuos, que habrá a largo plazo. (4 puntos)** El concepto "a largo plazo" se traduce matemáticamente como el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$): $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{15 + t^2}{(t + 1)^2}$$ Desarrollamos el denominador para comparar los grados de los polinomios: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^2 + 15}{t^2 + 2t + 1}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 2), el resultado es el cociente de los coeficientes de mayor grado: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{1t^2 + 15}{1t^2 + 2t + 1} = \frac{1}{1} = 1.$$ Esto significa que la población tiende a estabilizarse en **1 millón de individuos**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes principales. También podrías aplicar la regla de L'Hôpital (derivando dos veces), pero este método es más directo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{1 \text{ millón de individuos}}$$