Continuidad y derivabilidad de una función con parámetros

**(a) Estudia la continuidad de la función $f$ en los puntos $x_0 \neq 0$. (3 puntos)** Para los valores de $x \neq 0$, la función está definida por la expresión: $$f(x) = \frac{e^{ax}-1}{2x}$$ Analizamos los componentes de esta función cociente: 1. El numerador, $g(x) = e^{ax}-1$, es una función exponencial restada por una constante, las cuales son continuas en todo $\mathbb{R}$. 2. El denominador, $h(x) = 2x$, es una función polinómica lineal, continua en todo $\mathbb{R}$. Una función cociente es continua en todos los puntos de su dominio, excepto donde el denominador se anula. En este caso, el denominador $2x$ solo se anula en $x=0$. Como estamos analizando el intervalo $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, el denominador nunca es cero en estos puntos. Por lo tanto, $f(x)$ es continua para todo $x \neq 0$ por ser cociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**(b) Calcula la relación que ha de haber entre $a$ y $b$ para que $f$ sea una función continua en el punto $x_0 = 0$. (5 puntos)** Para que $f$ sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(0)$. En nuestro caso, $f(0) = b$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{2x}$$ Al sustituir $x=0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: $$\frac{e^{a\cdot 0}-1}{2 \cdot 0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Cuando obtenemos una indeterminación $\frac{0}{0}$ en un límite de funciones derivables, podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^{ax}-1)}{\frac{d}{dx}(2x)}$$ Calculamos las derivadas: - Derivada del numerador: $(e^{ax}-1)' = a e^{ax}$ - Derivada del denominador: $(2x)' = 2$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{a e^{ax}}{2} = \frac{a e^{a \cdot 0}}{2} = \frac{a \cdot 1}{2} = \frac{a}{2}$$ Para que la función sea continua, el límite debe ser igual a $f(0)$: $$\frac{a}{2} = b \implies a = 2b$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2b}$$

**(c) Si para los valores de $a = 2$ y $b = 1$, $f$ es una función derivable en el punto $x = 0$, calcula $f'(0)$. (2 puntos)** Primero, verificamos que para $a=2$ y $b=1$ la función es continua (condición necesaria para la derivabilidad): $a = 2b \implies 2 = 2(1)$, lo cual es cierto. La función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{2x}-1}{2x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ Para calcular $f'(0)$ usamos la definición de derivada en un punto: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$$ Sustituimos los valores: $$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{2x}-1}{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{2x}-1-2x}{2x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1-2x}{2x^2}$$ Evaluamos el límite: $\frac{e^0-1-0}{0} = \frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital.

Aplicamos L'Hôpital sucesivamente hasta resolver la indeterminación: **Primera aplicación:** $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1-2x}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}-2}{4x}$$ Sustituyendo $x=0$: $\frac{2(1)-2}{0} = \frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital de nuevo. **Segunda aplicación:** $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}-2}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x}}{4} = \lim_{x \to 0} e^{2x}$$ Evaluamos finalmente: $$e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular la derivada en el punto de salto de una función a trozos, es más riguroso usar la definición de límite del cociente incremental. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(0) = 1}$$