Sistemas de ecuaciones lineales: fabricación de bombillas LED

**(a) (i) Plantea el sistema de ecuaciones lineales de este problema. (3 puntos)** En primer lugar, definimos las variables según los tipos de bombilla: - $x$: número de bombillas de tipo A (10 puntos LED). - $y$: número de bombillas de tipo B (20 puntos LED). - $z$: número de bombillas de tipo C (50 puntos LED). Según el enunciado, tenemos las siguientes condiciones para $\lambda = 2$: 1. El número de bombillas tipo A es el doble que el de tipo C: $x = 2z \implies x - 2z = 0$. 2. El número total de bombillas es 1300: $x + y + z = 1300$. 3. El número total de puntos LED es 30000: $10x + 20y + 50z = 30000$. Podemos simplificar la tercera ecuación dividiendo entre 10: $x + 2y + 5z = 3000$. El sistema de ecuaciones es: $$\begin{cases} x - 2z = 0 \\ x + y + z = 1300 \\ x + 2y + 5z = 3000 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las ecuaciones (en este caso la de los puntos LED) para facilitar los cálculos posteriores. ✅ **Resultado (Sistema):** $$\boxed{\begin{cases} x - 2z = 0 \\ x + y + z = 1300 \\ x + 2y + 5z = 3000 \end{cases}}$$

**(ii) Clasifica el sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, determina cuántas bombillas de cada tipo se pueden fabricar. (4 puntos)** Para clasificar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1300 \\ 1 & 2 & 5 & 3000 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 5) + (0 \cdot 1 \cdot 1) + (-2 \cdot 1 \cdot 2) - (-2 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 5) - (1 \cdot 1 \cdot 2)$$ $$|A| = 5 + 0 - 4 - (-2) - 0 - 2 = 5 - 4 + 2 - 2 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, el rango de $A$ es 3. Puesto que el número de incógnitas también es 3, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también debe ser 3. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única. ✅ **Resultado (Clasificación):** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Resolvemos el sistema por sustitución, que resulta sencillo en este caso: 1. De la primera ecuación: $x = 2z$. 2. Sustituimos en la segunda y tercera: $$\begin{cases} (2z) + y + z = 1300 \implies y + 3z = 1300 \\ (2z) + 2y + 5z = 3000 \implies 2y + 7z = 3000 \end{cases}$$ 3. Despejamos $y$ de la primera ecuación resultante: $y = 1300 - 3z$. 4. Sustituimos en la otra: $$2(1300 - 3z) + 7z = 3000$$ $$2600 - 6z + 7z = 3000$$ $$z = 3000 - 2600 = 400$$ 5. Calculamos $x$ e $y$: - $x = 2(400) = 800$ - $y = 1300 - 3(400) = 1300 - 1200 = 100$ ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x=800, \, y=100, \, z=400}$$

**(b) Si $\lambda = 3$, e l'empresa fabrica diariamente 1000 bombillas; clasifica el sistema de ecuaciones lineales y determina el número de puntos LED necesarios. (2 puntos)** Definimos $L$ como el número de puntos LED necesarios. El nuevo sistema es: $$\begin{cases} x - 3z = 0 \\ x + y + z = 1000 \\ 10x + 20y + 50z = L \end{cases}$$ Analizamos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 10 & 20 & 50 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A| = (50 + 0 - 60) - (-30 + 20 + 0) = -10 - (-10) = 0$$ Como $|A|=0$, $\text{rango}(A) < 3$. Observamos que el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, por lo que **$\text{rango}(A) = 2$**. Para que el sistema tenga solución (sea compatible), el rango de la matriz ampliada $A^*$ debe ser también 2. Calculamos el determinante de la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1000 \\ 10 & 20 & L \end{vmatrix} = 1(L - 20000) = L - 20000$$ Para que $\text{rango}(A^*) = 2$, se debe cumplir que $L - 20000 = 0 \implies L = 20000$. Si $L = 20000$, entonces $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (LEDs y Clasificación):** $$\boxed{L = 20000 \text{ puntos LED; Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**En este caso, ¿cuántas bombillas de cada tipo se pueden fabricar? (1 punto)** Al ser un Sistema Compatible Indeterminado, existen infinitas soluciones matemáticas. Resolvemos en función de un parámetro $z = t$: 1. $x = 3z \implies x = 3t$ 2. $y = 1000 - x - z = 1000 - 3t - t = 1000 - 4t$ Como el número de bombillas debe ser un entero no negativo: - $t \ge 0$ - $1000 - 4t \ge 0 \implies t \le 250$ Por tanto, se pueden fabricar combinaciones que sigan la forma $(3t, 1000-4t, t)$ para cualquier entero $t \in [0, 250]$. 💡 **Tip:** En problemas reales, aunque el sistema sea indeterminado, las variables suelen estar acotadas por condiciones físicas (no pueden ser negativas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = 3t \\ y = 1000 - 4t \\ z = t \end{cases} \text{ con } t \in \mathbb{Z}, \, 0 \le t \le 250}$$