Operaciones con matrices, determinantes y ecuaciones matriciales

**(a) Calcula sus determinantes: $\det(A), \det(B)$. (2 puntos)** Para calcular el determinante de una matriz de orden 2, utilizamos la fórmula $\det(M) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$. Para la matriz $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (2 \cdot 1) = 0 - 2 = -2.$$ Para la matriz $B$: $$\det(B) = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (3 \cdot (-5)) - (1 \cdot 2) = -15 - 2 = -17.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz $2 \times 2$ es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(A) = -2, \quad \det(B) = -17}$$

**(b) Calcula la matriz producto $B \cdot A$, la matriz transpuesta $(B \cdot A)^t$. (3 puntos)** Multiplicamos las matrices $B$ y $A$ siguiendo la regla de fila por columna: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \cdot 1 + 1 \cdot 1) & (3 \cdot 2 + 1 \cdot 0) \\ (2 \cdot 1 + (-5) \cdot 1) & (2 \cdot 2 + (-5) \cdot 0) \end{pmatrix}$$ Operamos los elementos: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 + 1 & 6 + 0 \\ 2 - 5 & 4 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El elemento $c_{ij}$ del producto es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los de la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultado (producto):** $$\boxed{B \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}}$$

La matriz transpuesta $M^t$ se obtiene intercambiando las filas por las columnas de la matriz original. Partiendo de $B \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$: - La primera fila $(4, 6)$ pasa a ser la primera columna. - La segunda fila $(-3, 4)$ pasa a ser la segunda columna. $$(B \cdot A)^t = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (transpuesta):** $$\boxed{(B \cdot A)^t = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}}$$

**(c) Para que se cumpla la relación $A \cdot X = B \cdot A$, ¿cuántas filas y columnas ha de tener la matriz $X$? (2 puntos)** Analizamos las dimensiones basándonos en la propiedad del producto de matrices $(m \times n) \cdot (n \times p) = (m \times p)$: 1. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 2$. 2. El resultado $B \cdot A$ es una matriz de dimensión $2 \times 2$. 3. Para que el producto $A \cdot X$ sea posible, el número de filas de $X$ debe ser igual al número de columnas de $A$. Por tanto, **$X$ tiene 2 filas**. 4. Para que el resultado $A \cdot X$ tenga el mismo número de columnas que $B \cdot A$, la matriz $X$ debe tener el mismo número de columnas que $B \cdot A$. Por tanto, **$X$ tiene 2 columnas**. 💡 **Tip:** En una ecuación matricial $M \cdot X = P$, si $M$ es $m \times n$ y $P$ es $m \times p$, entonces $X$ debe ser forzosamente de dimensiones $n \times p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \text{ debe ser una matriz de dimensión } 2 \times 2 \text{ (2 filas y 2 columnas)}}$$

**(d) Calcula la matriz $X$ que satisface la relación $A \cdot X = B \cdot A$. (3 puntos)** Para despejar $X$ en la ecuación $A \cdot X = B \cdot A$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot (B \cdot A) \implies I \cdot X = A^{-1} \cdot (B \cdot A) \implies X = A^{-1} \cdot (B \cdot A)$$ Como en el apartado (a) vimos que $\det(A) = -2 \neq 0$, existe $A^{-1}$. La calculamos mediante la matriz adjunta: 1. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (Adj(A))^t = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No olvides que al despejar en matrices, el orden importa. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer a la izquierda en el otro miembro.

Ahora calculamos $X = A^{-1} \cdot (B \cdot A)$ utilizando el resultado de $(B \cdot A)$ del apartado (b): $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - $x_{11} = 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-3) = -3$ - $x_{12} = 0 \cdot 6 + 1 \cdot 4 = 4$ - $x_{21} = \frac{1}{2} \cdot 4 + (-\frac{1}{2}) \cdot (-3) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$ - $x_{22} = \frac{1}{2} \cdot 6 + (-\frac{1}{2}) \cdot 4 = 3 - 2 = 1$ Resultando: $$X = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 7/2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ \dfrac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}}$$