Distribución Binomial: Probabilidad de contagio

**a) La probabilidad de que contagie a un máximo de 2 personas.** Primero debemos identificar el modelo de probabilidad que sigue este experimento. Se trata de una **Distribución Binomial**, ya que: 1. Se repite un experimento un número fijo de veces ($n=8$ contactos). 2. En cada contacto solo hay dos resultados posibles: contagio (éxito) o no contagio (fracaso). 3. La probabilidad de contagio es constante en cada contacto ($p = 0.10$). 4. Los contactos se consideran independientes entre sí. Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de personas contagiadas de un total de 8". $X$ sigue una distribución binomial de parámetros $n = 8$ y $p = 0.1$: $$X \sim B(8, \, 0.1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la probabilidad para una binomial $B(n, p)$ es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ donde $q = 1 - p$ es la probabilidad de fracaso.

La expresión "un máximo de 2 personas" significa que el número de contagios puede ser 0, 1 o 2. Matemáticamente se expresa como $P(X \le 2)$: $$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$ Calculamos cada término por separado usando $n=8$, $p=0.1$ y $q=0.9$: 1. **Para $X=0$:** $$P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0.1^0 \cdot 0.9^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0.430467 = 0.430467$$ 2. **Para $X=1$:** $$P(X=1) = \binom{8}{1} \cdot 0.1^1 \cdot 0.9^7 = 8 \cdot 0.1 \cdot 0.478297 = 0.382638$$ 3. **Para $X=2$:** $$P(X=2) = \binom{8}{2} \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^6 = 28 \cdot 0.01 \cdot 0.531441 = 0.148803$$ Sumamos los resultados: $$P(X \le 2) = 0.430467 + 0.382638 + 0.148803 = 0.961908$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(X \le 2) = 0.9619}$$ 💡 **Tip:** Los números combinatorios $\binom{n}{k}$ se calculan como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Por ejemplo, $\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

**b) La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.** La expresión "2 personas por lo menos" significa que el número de contagios es igual o superior a 2. Matemáticamente: $$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + \dots + P(X=8)$$ Calcular todos estos términos es ineficiente. Es mucho más sencillo utilizar la **probabilidad del suceso contrario**. El contrario de "al menos 2" ($X \ge 2$) es "menos de 2" ($X \lt 2$), es decir, 0 o 1 contagio. $$P(X \ge 2) = 1 - P(X \lt 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Aprovechamos los cálculos realizados en el apartado anterior: - $P(X=0) = 0.430467$ - $P(X=1) = 0.382638$ Sustituimos: $$P(X \ge 2) = 1 - (0.430467 + 0.382638) = 1 - 0.813105 = 0.186895$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.1869}$$ 💡 **Tip:** En problemas de "al menos...", siempre evalúa si es más rápido calcular directamente o usar la propiedad del complementario $P(A) = 1 - P(A^c)$.