Probabilidad: Propiedades de la unión e independencia

**a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule $P(A)$ sabiendo que $P(B) = 2P(A)$, $P(A \cap B) = 0.1$ y $P(A \cup B) = 0.8$.** Para resolver este apartado, utilizaremos la fórmula fundamental de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ De los datos del enunciado sabemos: - $P(A \cup B) = 0.8$ - $P(A \cap B) = 0.1$ - $P(B) = 2P(A)$ Sustituimos estas relaciones en la fórmula: $$0.8 = P(A) + 2P(A) - 0.1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la unión mide la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos. Siempre restamos la intersección para no contar dos veces los elementos comunes.

Agrupamos los términos con $P(A)$ y despejamos la incógnita: $$0.8 + 0.1 = 3P(A)$$ $$0.9 = 3P(A)$$ Dividimos por 3: $$P(A) = \frac{0.9}{3} = 0.3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.3}$$

**b) Diga si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes, si se sabe que $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.82$.** Primero debemos obtener la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ a partir del dato proporcionado. Según las **Leyes de De Morgan**, la unión de los complementarios es el complementario de la intersección: $$\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$$ Por tanto: $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$$ Sustituimos el valor conocido: $$0.82 = 1 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 1 - 0.82 = 0.18$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios.

Dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes** si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.6 \cdot 0.3 = 0.18$$ Comparamos con el valor de la intersección obtenido anteriormente: - $P(A \cap B) = 0.18$ - $P(A) \cdot P(B) = 0.18$ Como $0.18 = 0.18$, se verifica la igualdad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son independientes}}$$