Posiciones relativas con parámetros en el espacio

**a) Halle el valor de $a$ si el plano $\pi: ax + y + z = 0$ es paralelo a la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 1 + \lambda, \\ z = 2 + \lambda, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}.** Para que una recta sea paralela a un plano, el vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal del plano. 1. Obtenemos el vector normal del plano $\pi: ax + y + z = 0$: $$\vec{n}_{\pi} = (a, 1, 1)$$ 2. Obtenemos el vector director de la recta $r$ a partir de sus ecuaciones paramétricas: $$\vec{v}_r = (1, 1, 1)$$ 3. Identificamos un punto de la recta $r$: $$P_r(1, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $(A, B, C)$. En una recta en paramétricas, el vector director está formado por los coeficientes de $\lambda$.

Para que $r \parallel \pi$, se debe cumplir que $\vec{n}_{\pi} \perp \vec{v}_r$, lo que implica que su producto escalar es cero: $$\vec{n}_{\pi} \cdot \vec{v}_r = 0$$ Calculamos el producto escalar: $$(a, 1, 1) \cdot (1, 1, 1) = a \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = a + 1 + 1 = a + 2$$ Igualamos a cero para hallar $a$: $$a + 2 = 0 \implies a = -2$$ 💡 **Tip:** Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo: $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 0$.

Para asegurar que la recta es paralela y no está contenida en el plano, comprobamos que el punto $P_r(1, 1, 2)$ no pertenece a $\pi$ con $a = -2$. Sustituimos $P_r$ en $\pi: -2x + y + z = 0$: $$-2(1) + 1 + 2 = -2 + 3 = 1 \neq 0$$ Como $1 \neq 0$, el punto no cumple la ecuación del plano, por lo que la recta no está contenida en él. Por tanto, son estrictamente paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2}$$

**b) Estudie la posición relativa de los planos $\pi_1: 2x + y + mz + m = 0$ y $\pi_2: (m - 1)x + y + 3z = 0$ en función del parámetro $m$.** Extraemos los vectores normales de ambos planos: - $\vec{n}_1 = (2, 1, m)$ - $\vec{n}_2 = (m - 1, 1, 3)$ Para estudiar la posición relativa, analizamos la proporcionalidad de sus coeficientes: $$\frac{2}{m-1} = \frac{1}{1} = \frac{m}{3}$$ 💡 **Tip:** Dos planos son paralelos o coincidentes si sus vectores normales son proporcionales. Si no lo son, se cortan en una recta (secantes).

Igualamos las razones para encontrar los valores críticos de $m$: 1. De la igualdad $\frac{1}{1} = \frac{m}{3}$ obtenemos: $$1 = \frac{m}{3} \implies m = 3$$ 2. Comprobamos si $m=3$ satisface la primera igualdad: $$\frac{2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$$ Efectivamente, para **$m = 3$**, los vectores normales son proporcionales, lo que indica que los planos son paralelos o coincidentes.

Analizamos el caso **$m = 3$** sustituyendo en las ecuaciones originales: - $\pi_1: 2x + y + 3z + 3 = 0$ - $\pi_2: 2x + y + 3z = 0$ Comparamos los términos independientes: $$\frac{2}{2} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} \neq \frac{3}{0}$$ Como los coeficientes de las variables son proporcionales pero el término independiente no lo es, los planos no tienen puntos en común. Conclusión para $m=3$: **Los planos son paralelos (estrictamente)**.

Si **$m \neq 3$**, la proporción $\frac{1}{1} = \frac{m}{3}$ no se cumple. Esto implica que los vectores normales $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ no son proporcionales. Cuando los vectores normales de dos planos son linealmente independientes, los planos se cortan en una recta. Conclusión para $m \neq 3$: **Los planos son secantes** (se cortan en una recta). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m = 3: & \text{Planos paralelos} \\ \text{Si } m \neq 3: & \text{Planos secantes} \end{cases}}$$