Ecuación del plano y punto simétrico

**a) Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$.** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Utilizaremos el punto $A(1, 0, 0)$ y los vectores formados por los puntos dados: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$$ Estos vectores están contenidos en el plano $\pi$. 💡 **Tip:** Un plano queda unívocamente determinado por tres puntos no alineados. Los vectores que unen esos puntos sirven como base para el plano.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus o desarrollo por una fila: $$\vec{n} = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)\vec{i} - ((-1) \cdot 3 - 0 \cdot (-1))\vec{j} + ((-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1))\vec{k}$$ $$\vec{n} = 6\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k} = (6, 3, 2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, lo cual es ideal para hallar la normal de un plano.

La ecuación implícita o general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n} = (6, 3, 2)$. Sustituimos las componentes: $$6x + 3y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(1, 0, 0)$: $$6(1) + 3(0) + 2(0) + D = 0 \implies 6 + D = 0 \implies D = -6$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{6x + 3y + 2z - 6 = 0}$$ Observemos que este resultado coincide con el plano proporcionado en el apartado b).

**b) Calcule el punto simétrico de $P(10, -5, 5)$ con respecto al plano $\pi: 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.** Para hallar el simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano, seguiremos este procedimiento: 1. Hallar una recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ que pase por $P$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ será el punto medio del segmento $PP'$. 3. Calcular $P'$ sabiendo que $M = \frac{P + P'}{2}$. La recta $r$ tiene como vector director el vector normal del plano, $\vec{d_r} = \vec{n} = (6, 3, 2)$, y pasa por $P(10, -5, 5)$. Su ecuación paramétrica es: $$r: \begin{cases} x = 10 + 6\lambda \\ y = -5 + 3\lambda \\ z = 5 + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ de un plano es siempre perpendicular a cualquier recta contenida en él, por lo que sirve como vector director para rectas perpendiculares al plano.

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi$ para hallar el valor de $\lambda$ correspondiente al punto de corte $M$: $$6(10 + 6\lambda) + 3(-5 + 3\lambda) + 2(5 + 2\lambda) - 6 = 0$$ Desarrollamos la ecuación: $$60 + 36\lambda - 15 + 9\lambda + 10 + 4\lambda - 6 = 0$$ $$49\lambda + 49 = 0$$ $$49\lambda = -49 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las paramétricas de la recta para hallar $M$: $$x_M = 10 + 6(-1) = 4$$ $$y_M = -5 + 3(-1) = -8$$ $$z_M = 5 + 2(-1) = 3$$ El punto de intersección es **$M(4, -8, 3)$**.

Como $M$ es el punto medio entre $P(10, -5, 5)$ y $P'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(4) - 10 = 8 - 10 = -2$$ $$y' = 2(-8) - (-5) = -16 + 5 = -11$$ $$z' = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el punto medio se usa la semisuma de coordenadas: $x_M = \frac{x_P + x_{P'}}{2}$. Despejar el simétrico es simplemente realizar el doble del punto medio menos el punto original. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P'(-2, -11, 1)}$$