Área de la región entre una función a trozos y dos rectas

Para calcular el área de la región encerrada, primero debemos encontrar los puntos donde se intersecan las gráficas de $f(x)$, la recta $y = 4x - 7$ y la recta $y = 1$. Las funciones implicadas son: - $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \le 0 \\ -x^2 - x - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$ - $g(x) = 4x - 7$ - $h(x) = 1$ Buscaremos las intersecciones de estas tres funciones de dos en dos.

Resolvemos $f(x) = 1$ analizando cada rama: 1. **Rama $x \le 0$:** $x^2 - x - 1 = 1 \implies x^2 - x - 2 = 0$ Factorizando: $(x - 2)(x + 1) = 0$. Las soluciones son $x = 2$ y $x = -1$. Como estamos en la condición $x \le 0$, solo es válida **$x = -1$**. 2. **Rama $x > 0$:** $-x^2 - x - 1 = 1 \implies x^2 + x + 2 = 0$ Calculamos el discriminante: $\Delta = 1^2 - 4(1)(2) = -7$. No hay soluciones reales. 💡 **Tip:** Para hallar puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, igualamos sus expresiones y resolvemos la ecuación resultante. El punto de corte es **$(-1, 1)$**.

Resolvemos $f(x) = 4x - 7$ analizando cada rama: 1. **Rama $x \le 0$:** $x^2 - x - 1 = 4x - 7 \implies x^2 - 5x + 6 = 0$ Las soluciones son $x = 2$ y $x = 3$. Ninguna cumple $x \le 0$, por lo que se descartan. 2. **Rama $x > 0$:** $-x^2 - x - 1 = 4x - 7 \implies x^2 + 5x - 6 = 0$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}$$ Obtenemos $x = 1$ y $x = -6$. Como estamos en $x > 0$, la única válida es **$x = 1$**. El punto de corte es **$(1, -3)$**.

Igualamos las rectas $y = 4x - 7$ e $y = 1$: $$4x - 7 = 1 \implies 4x = 8 \implies x = 2$$ El punto de corte es **$(2, 1)$**. En resumen, los límites de integración y cambios de función se producen en **$x = -1$, $x = 0$ (cambio de rama), $x = 1$ y $x = 2$**.

La región está limitada superiormente por $y = 1$ e inferiormente por $f(x)$ y la recta $y = 4x - 7$. Dividimos el área total en tres recintos según los puntos críticos hallados: 1. **De $x = -1$ a $x = 0$:** Entre $h(x) = 1$ y $f(x) = x^2 - x - 1$. 2. **De $x = 0$ a $x = 1$:** Entre $h(x) = 1$ y $f(x) = -x^2 - x - 1$. 3. **De $x = 1$ a $x = 2$:** Entre $h(x) = 1$ y $g(x) = 4x - 7$. $$A = \int_{-1}^{0} (1 - (x^2 - x - 1)) \, dx + \int_{0}^{1} (1 - (-x^2 - x - 1)) \, dx + \int_{1}^{2} (1 - (4x - 7)) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en $[a, b]$ es $\int_{a}^{b} (\text{superior} - \text{inferior}) \, dx$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\left\\{x\\le0:x^2-x-1,-x^2-x-1\\right\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=4x-7", "color": "#10b981" }, { "id": "h", "latex": "h(x)=1", "color": "#ef4444" }, { "id": "area1", "latex": "f(x) \\le y \\le 1 \\left\\{-1 \\le x \\le 1\\right\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "area2", "latex": "4x-7 \\le y \\le 1 \\left\\{1 \\le x \\le 2\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 3, "bottom": -4, "top": 2 } } }

Calculamos cada parte por separado: **Primera parte ($I_1$):** $$I_1 = \int_{-1}^{0} (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0}$$ $$I_1 = (0) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right) = -\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = -\left( \frac{2+3-12}{6} \right) = \frac{7}{6}$$ **Segunda parte ($I_2$):** $$I_2 = \int_{0}^{1} (x^2 + x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1}$$ $$I_2 = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2 \right) - (0) = \frac{2+3+12}{6} = \frac{17}{6}$$ **Tercera parte ($I_3$):** $$I_3 = \int_{1}^{2} (-4x + 8) \, dx = \left[ -2x^2 + 8x \right]_{1}^{2}$$ $$I_3 = (-2(4) + 16) - (-2(1) + 8) = (8) - (6) = 2$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Sumamos las tres áreas obtenidas: $$A = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{7}{6} + \frac{17}{6} + 2 = \frac{24}{6} + 2 = 4 + 2 = 6$$ El área de la región encerrada es de **6 unidades cuadradas**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = 6 \text{ u}^2}$$