Optimización del área de un rectángulo

Un rectángulo en el primer cuadrante con lados sobre los ejes de coordenadas tiene sus vértices en los puntos $(0,0)$, $(x,0)$, $(x,y)$ y $(0,y)$. El vértice que se encuentra sobre la recta $x + 2y = 4$ es el punto $P(x, y)$. Como este punto está en el primer cuadrante, sabemos que $x \ge 0$ y $y \ge 0$. Despejamos $y$ de la ecuación de la recta para obtener la relación entre las variables: $$x + 2y = 4 \implies 2y = 4 - x \implies y = 2 - \frac{x}{2}.$$ La función que queremos maximizar es el **área del rectángulo**, $A$: $$A = x \cdot y$$ Sustituimos $y$ en la función del área para que dependa únicamente de $x$: $$A(x) = x \left( 2 - \frac{x}{2} \right) = 2x - \frac{x^2}{2}.$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es siempre expresar la magnitud a optimizar como una función de una sola variable usando las ligaduras (restricciones) del enunciado.

Para que el rectángulo esté en el primer cuadrante, tanto $x$ como $y$ deben ser no negativos. - Ya sabemos que $x \ge 0$. - Como $y = 2 - \frac{x}{2}$, imponemos $2 - \frac{x}{2} \ge 0 \implies 2 \ge \frac{x}{2} \implies x \le 4$. Por tanto, el dominio de nuestra función en el contexto del problema es el intervalo: $$\boxed{x \in [0, 4]}$$

Para encontrar los extremos relativos, calculamos la primera derivada de $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = \left( 2x - \frac{x^2}{2} \right)' = 2 - \frac{2x}{2} = 2 - x.$$ Buscamos los puntos críticos: $$A'(x) = 0 \implies 2 - x = 0 \implies x = 2.$$ Calculamos la segunda derivada para comprobar si es un máximo: $$A''(x) = (2 - x)' = -1.$$ Como $A''(2) = -1 \lt 0$, se confirma que en $x = 2$ la función tiene un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** El criterio de la segunda derivada es muy útil: si $f'(a)=0$ y $f''(a) \lt 0$, entonces hay un máximo en $a$.

Podemos verificar el comportamiento de la función $A(x)$ mediante el signo de su derivada primera en el dominio $(0, 4)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,2) & 2 & (2,4)\\\hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ - En el intervalo $(0,2)$, $A'(x) \gt 0$, por lo que la función es creciente. - En el intervalo $(2,4)$, $A'(x) \lt 0$, por lo que la función es decreciente. Esto confirma nuevamente que en $x = 2$ se alcanza el **área máxima**.

Una vez hallado el valor de $x = 2$ que maximiza el área, calculamos el valor de $y$ correspondiente: $$y = 2 - \frac{2}{2} = 2 - 1 = 1.$$ Los vértices del rectángulo son los puntos $(0,0)$, $(x,0)$, $(x,y)$ y $(0,y)$. Sustituyendo $x=2$ y $y=1$, obtenemos: 1. Origen: $(0,0)$ 2. Sobre el eje $X$: $(2,0)$ 3. Sobre la recta $x + 2y = 4$: $(2,1)$ 4. Sobre el eje $Y$: $(0,1)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Vértices: (0,0), (2,0), (2,1), (0,1)}$$ El área máxima sería $A = 2 \cdot 1 = 2$ unidades cuadradas.