Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\begin{cases} x + 2y = m, \\ my + 3z = 1, \\ x + (m + 2)y + (m + 1)z = m + 1. \end{cases}$** Primero, expresamos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 3 \\ 1 & m + 2 & m + 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \big| & m \\ 0 & m & 3 & \big| & 1 \\ 1 & m + 2 & m + 1 & \big| & m + 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes $A$, el rango de la matriz ampliada $A^*$ y el número de incógnitas ($n=3$). - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es Compatible Determinado (SCD). - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < 3$, el sistema es Compatible Indeterminado (SCI). - Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es Incompatible (SI).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 3 \\ 1 & m + 2 & m + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot m \cdot (m + 1) + 2 \cdot 3 \cdot 1 + 0] - [1 \cdot m \cdot 0 + (m + 2) \cdot 3 \cdot 1 + (m + 1) \cdot 0 \cdot 2]$$ $$|A| = (m^2 + m + 6) - (3m + 6)$$ $$|A| = m^2 + m + 6 - 3m - 6 = m^2 - 2m$$ Igualamos el determinante a cero para estudiar los cambios de rango: $$m^2 - 2m = 0 \implies m(m - 2) = 0$$ Las raíces son **$m = 0$** y **$m = 2$**.

Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$, el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por lo tanto, el rango de $A$ es igual a 3. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3, por lo que coinciden: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 2 \implies \text{SCD}}$$

Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \big| & 0 \\ 0 & 0 & 3 & \big| & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \big| & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes (columna 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (3 + 0 + 0) - (0 + 1 + 0) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 0 \implies \text{SI}}$$

Sustituimos $m = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \big| & 2 \\ 0 & 2 & 3 & \big| & 1 \\ 1 & 4 & 3 & \big| & 3 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$. Si observamos las filas, vemos que $F_1 + F_2 = F_3$: $$(1+0, 2+2, 0+3, 2+1) = (1, 4, 3, 3)$$ Esto implica que todas las submatrices de orden 3 en $A^*$ tendrán determinante cero. Lo comprobamos con un menor que use la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = (6 + 2 + 0) - (4 + 4 + 0) = 8 - 8 = 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 2 \implies \text{SCI}}$$

Tras el análisis realizado aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, la discusión del sistema según el valor del parámetro $m$ es: - Si **$m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$**: El sistema es **Compatible Determinado**. Existe una solución única. - Si **$m = 0$**: El sistema es **Incompatible**. No existe solución. - Si **$m = 2$**: El sistema es **Compatible Indeterminado**. Existen infinitas soluciones. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0, 2 & \text{SCD} \\ m = 0 & \text{SI} \\ m = 2 & \text{SCI} \end{cases}}$$