Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa

Para resolver el ejercicio, primero debemos construir la matriz $A$ utilizando la definición dada para sus elementos $a_{ij}$. La matriz es de dimensión $3 \times 3$, por lo que $i$ (filas) y $j$ (columnas) varían de $1$ a $3$. - **Si $i = 2$ (segunda fila):** $a_{21} = 1, \quad a_{22} = 1, \quad a_{23} = 1$. - **Si $i \neq 2$ (primera y tercera fila):** Para $i = 1$: $a_{1j} = (-1)^j(1-1) = 0$. Por tanto, $a_{11} = 0, a_{12} = 0, a_{13} = 0$. Para $i = 3$: $a_{3j} = (-1)^j(3-1) = 2(-1)^j$. $a_{31} = 2(-1)^1 = -2$ $a_{32} = 2(-1)^2 = 2$ $a_{33} = 2(-1)^3 = -2$ La matriz $A$ resultante es: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$

Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Observamos que la primera fila está compuesta íntegramente por ceros. Por las propiedades de los determinantes, si una fila o columna es nula, el determinante es cero. $$\det(A) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada $M$ tiene inversa si y solo si es regular, es decir, $\det(M) \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A no es invertible porque } \det(A) = 0}$$

Calculamos ahora la matriz $A + I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3: $$A + I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento los valores de ambas matrices. $$\boxed{A+I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de $A + I$ para comprobar si es invertible: $$\det(A + I) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila, ya que tiene dos ceros: $$\det(A + I) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \cdot (2(-1) - 2(1)) = -2 - 2 = -4$$ Como $\det(A + I) = -4 \neq 0$, la matriz **$A + I$ es invertible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A + I es invertible porque } \det(A+I) = -4 \neq 0}$$

Utilizamos la fórmula de la matriz inversa: $$(A + I)^{-1} = \frac{1}{\det(A + I)} \cdot \text{Adj}(A + I)^T$$ Calculamos primero los adjuntos de los elementos de $M = A + I$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -4$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 + 2) = -1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 2 + 4 = 6$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 6 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Transponemos la adjunta: $$\text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \\ 6 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante ($-4$): $$(A+I)^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \\ 6 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ -3/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para comprobar si el resultado es correcto, puedes verificar que $(A+I) \cdot (A+I)^{-1} = I$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(A+I)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$