Probabilidad en una distribución normal de grosor de planchas

Definimos la variable aleatoria $X$ como el grosor de una plancha de acero elegida al azar (medido en mm). Según el enunciado, $X$ sigue una **distribución normal** con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 8$ - Desviación típica: $\sigma = 0.5$ Por tanto, podemos escribir: $$X \sim N(8, \, 0.5)$$ El objetivo es calcular la probabilidad de que el grosor esté comprendido entre $7.6$ y $8.2$ mm, es decir: $$\mathbf{P(7.6 \lt X \lt 8.2)}$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente la media (centro de la campana) y la desviación típica (dispersión) es el primer paso fundamental en cualquier problema de distribución normal.

Para calcular probabilidades en una distribución normal cualquiera, debemos transformarla en una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. Este proceso se llama **tipificación**. La fórmula para tipificar es: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Aplicamos esta transformación a los límites de nuestro intervalo: - Para $x_1 = 7.6$: $z_1 = \dfrac{7.6 - 8}{0.5} = \dfrac{-0.4}{0.5} = -0.8$ - Para $x_2 = 8.2$: $z_2 = \dfrac{8.2 - 8}{0.5} = \dfrac{0.2}{0.5} = 0.4$ Así, la probabilidad buscada se transforma en: $$P(7.6 \lt X \lt 8.2) = P(-0.8 \lt Z \lt 0.4)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que están disponibles en los exámenes de Selectividad.

Para calcular la probabilidad en un intervalo $(a, b)$, usamos la propiedad: $$P(a \lt Z \lt b) = P(Z \lt b) - P(Z \lt a)$$ Sustituyendo nuestros valores: $$P(-0.8 \lt Z \lt 0.4) = P(Z \lt 0.4) - P(Z \lt -0.8)$$ Debido a la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de un valor negativo $P(Z \lt -z)$ es igual a $P(Z \gt z)$, que a su vez es $1 - P(Z \lt z)$. Por tanto: $$P(Z \lt -0.8) = 1 - P(Z \lt 0.8)$$ Combinando todo: $$P(-0.8 \lt Z \lt 0.4) = P(Z \lt 0.4) - [1 - P(Z \lt 0.8)]$$ $$P(-0.8 \lt Z \lt 0.4) = P(Z \lt 0.4) - 1 + P(Z \lt 0.8)$$

Buscamos los valores correspondientes en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: - $P(Z \lt 0.4) = 0.6554$ - $P(Z \lt 0.8) = 0.7881$ Sustituimos estos valores en nuestra expresión: $$P = 0.6554 - 1 + 0.7881$$ $$P = 0.6554 - 0.2119 = 0.4435$$ La probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre $7.6$ mm y $8.2$ mm es de **$0.4435$** (o un $44.35\%$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(7.6 \lt X \lt 8.2) = 0.4435}$$