Punto simétrico de un punto respecto a un plano

Para hallar el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, debemos seguir estos pasos: 1. Hallar la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ (este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano). 3. Utilizar que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$ para despejar las coordenadas de $P'$. Empezamos obteniendo el vector normal del plano $\pi: 2x - y + z + 3 = 0$: $$\vec{n}_{\pi} = (2, -1, 1)$$ Como la recta $r$ debe ser perpendicular al plano, su vector director $\vec{v}_r$ coincidirá con el vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (2, -1, 1)$$ La recta $r$ pasa por $P(1, 1, 2)$, por lo que sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$. Cualquier recta perpendicular a dicho plano tendrá este vector como dirección.

Buscamos el punto $M = r \cap \pi$. Para ello, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$2(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (2 + \lambda) + 3 = 0$$ Desarrollamos la ecuación para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$2 + 4\lambda - 1 + \lambda + 2 + \lambda + 3 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0$$ $$6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$$ $$y_M = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$ $$z_M = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1$$ El punto de intersección es **$M(-1, 2, 1)$**. 💡 **Tip:** Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano $\pi$.

El punto $M(-1, 2, 1)$ es el punto medio del segmento formado por $P(1, 1, 2)$ y su simétrico $P'(x', y', z')$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (-1, 2, 1) = \left( \frac{1 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}, \frac{2 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. Para la coordenada $x$: $$-1 = \frac{1 + x'}{2} \implies -2 = 1 + x' \implies x' = -3$$ 2. Para la coordenada $y$: $$2 = \frac{1 + y'}{2} \implies 4 = 1 + y' \implies y' = 3$$ 3. Para la coordenada $z$: $$1 = \frac{2 + z'}{2} \implies 2 = 2 + z' \implies z' = 0$$ Por lo tanto, el punto simétrico buscado es **$P'(-3, 3, 0)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P'(-3, 3, 0)}$$