Ecuación del plano y coplanaridad de puntos

**a) Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ con ecuaciones paramétricas $\pi: \begin{cases} x = 1 - \lambda, \\ y = 2 + \mu, \\ z = 1 + \lambda + 2\mu, \end{cases} \lambda, \mu \in \mathbb{R}.** A partir de las ecuaciones paramétricas del plano, podemos extraer un punto $P$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que definen el plano: - Punto $P = (1, 2, 1)$ (términos independientes). - Vector $\vec{u} = (-1, 0, 1)$ (coeficientes de $\lambda$). - Vector $\vec{v} = (0, 1, 2)$ (coeficientes de $\mu$). 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación paramétrica de un plano es de la forma $X = P + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$. Para pasar a la implícita, necesitamos un vector normal $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$.

Calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de los vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\vec{n} = (0 \cdot 2)\vec{i} + (1 \cdot 0)\vec{j} + (-1 \cdot 1)\vec{k} - (0 \cdot 0)\vec{k} - (1 \cdot 1)\vec{i} - (2 \cdot -1)\vec{j}$$ $$\vec{n} = 0\vec{i} + 0\vec{j} - 1\vec{k} - 0\vec{k} - 1\vec{i} + 2\vec{j} = -1\vec{i} + 2\vec{j} - 1\vec{k}$$ Por tanto, el vector normal es $\vec{n} = (-1, 2, -1)$.

La ecuación implícita (o general) del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal $\vec{n} = (-1, 2, -1)$. $$-1x + 2y - 1z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P(1, 2, 1)$ para hallar $D$: $$-1(1) + 2(2) - 1(1) + D = 0 \implies -1 + 4 - 1 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ La ecuación es $-x + 2y - z - 2 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{x - 2y + z + 2 = 0}$$

**b) Calcule el valor de $m$ para que los siguientes puntos sean coplanarios: $A(0, m, 0)$, $B(0, 2, 2)$, $C(1, 4, 3)$ y $D(2, 0, 2)$. Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que los contiene.** Cuatro puntos $A, B, C, D$ son coplanarios si los vectores formados por ellos, por ejemplo $\vec{BC}$, $\vec{BD}$ y $\vec{BA}$, son linealmente dependientes. Esto equivale a que el determinante formado por sus componentes sea cero. Calculamos los vectores tomando $B$ como origen: $$\vec{BC} = C - B = (1-0, 4-2, 3-2) = (1, 2, 1)$$ $$\vec{BD} = D - B = (2-0, 0-2, 2-2) = (2, -2, 0)$$ $$\vec{BA} = A - B = (0-0, m-2, 0-2) = (0, m-2, -2)$$ 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanarios si su producto mixto es cero: $[\vec{BC}, \vec{BD}, \vec{BA}] = 0$.

Planteamos el determinante e igualamos a cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & m-2 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$[ (1)(-2)(-2) + (2)(m-2)(1) + (2)(0)(0) ] - [ (0)(-2)(1) + (1)(m-2)(0) + (-2)(2)(2) ] = 0$$ $$[ 4 + 2m - 4 + 0 ] - [ 0 + 0 - 8 ] = 0$$ $$2m + 8 = 0$$ $$2m = -8 \implies m = -4$$ ✅ **Valor de m:** $$\boxed{m = -4}$$

Para hallar el plano $\pi$, usamos el punto $B(0, 2, 2)$ y los vectores directores ya calculados $\vec{BC} = (1, 2, 1)$ y $\vec{BD} = (2, -2, 0)$. Primero hallamos el vector normal $\vec{n}_\pi = \vec{BC} \times \vec{BD}$: $$\vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0 - (-2))\vec{i} - (0 - 2)\vec{j} + (-2 - 4)\vec{k} = (2, 2, -6)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}' = (1, 1, -3)$. La ecuación del plano será: $$1(x - 0) + 1(y - 2) - 3(z - 2) = 0$$ $$x + y - 2 - 3z + 6 = 0 \implies x + y - 3z + 4 = 0$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{x + y - 3z + 4 = 0}$$