Teorema de Rolle y área entre una función y otra a trozos

**a) Enuncie el teorema de Rolle.** El teorema de Rolle es un resultado fundamental del cálculo diferencial que establece las condiciones para la existencia de un punto con derivada nula. Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes tres condiciones: 1. Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Toma el mismo valor en los extremos del intervalo: $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que su derivada es cero: $$f'(c) = 0$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, el teorema asegura que si una función empieza y termina a la misma altura, debe haber al menos un punto intermedio donde la recta tangente sea horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } f \text{ es cont. en } [a,b], \text{ deriv. en } (a,b) \text{ y } f(a)=f(b) \implies \exists c \in (a,b) : f'(c)=0}$$

**b) Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de $f(x) = x + 6$ y $g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x \lt 0, \\ x^2 & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$** Para hallar el área, primero buscamos los puntos de intersección entre $f(x)$ y cada rama de $g(x)$. **Rama 1 ($x \lt 0$):** Igualamos $f(x) = -2x$ $$x + 6 = -2x \implies 3x = -6 \implies x = -2$$ Como $-2 \lt 0$, este es un punto de corte válido. **Rama 2 ($x \ge 0$):** Igualamos $f(x) = x^2$ $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 3$ y $x_2 = -2$. Solo $x = 3$ pertenece al dominio de esta rama ($x \ge 0$). Los puntos de corte son **$x = -2$** y **$x = 3$**. El punto de cambio de rama es **$x = 0$**.

La región está delimitada entre $x = -2$ y $x = 3$. Como $g(x)$ cambia de definición en $x = 0$, debemos dividir el área en dos recintos: 1. **Recinto 1 ($x \in [-2, 0]$):** Entre la recta $f(x) = x + 6$ y la rama $g(x) = -2x$. 2. **Recinto 2 ($x \in [0, 3]$):** Entre la recta $f(x) = x + 6$ y la rama $g(x) = x^2$. En ambos intervalos, la función $f(x) = x+6$ está por encima de $g(x)$. Por ejemplo: - En $x = -1$: $f(-1) = 5$ y $g(-1) = 2$. ($f \gt g$) - En $x = 1$: $f(1) = 7$ y $g(1) = 1$. ($f \gt g$) El área total es: $$A = \int_{-2}^{0} (f(x) - g_1(x)) \, dx + \int_{0}^{3} (f(x) - g_2(x)) \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{0} (x + 6 - (-2x)) \, dx + \int_{0}^{3} (x + 6 - x^2) \, dx$$

Calculamos la primera integral aplicando la regla de Barrow: $$A_1 = \int_{-2}^{0} (3x + 6) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} + 6x \right]_{-2}^{0}$$ $$A_1 = \left( \frac{3(0)^2}{2} + 6(0) \right) - \left( \frac{3(-2)^2}{2} + 6(-2) \right)$$ $$A_1 = 0 - (6 - 12) = 0 - (-6) = 6 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Calculamos la segunda integral: $$A_2 = \int_{0}^{3} (-x^2 + x + 6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{0}^{3}$$ $$A_2 = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3) \right) - (0)$$ $$A_2 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + 4.5 = 13.5 \text{ u}^2$$ O bien, expresado en fracción: $$A_2 = \frac{27}{2} \text{ u}^2$$

Sumamos las dos áreas parciales para obtener el área total de la región: $$A = A_1 + A_2 = 6 + 13.5 = 19.5 \text{ u}^2$$ En formato de fracción: $$A = 6 + \frac{27}{2} = \frac{12 + 27}{2} = \frac{39}{2} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 19.5 \text{ u}^2}$$