Teorema de Bolzano y optimización de parámetros

**a) Enuncie el teorema de Bolzano.** El teorema de Bolzano es uno de los teoremas fundamentales del cálculo y establece las condiciones para asegurar la existencia de al menos una raíz en un intervalo. **Teorema de Bolzano:** Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si la función toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo, es decir, $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** Geométricamente, esto significa que si una curva continua pasa de estar por debajo del eje $X$ a estar por encima (o viceversa), necesariamente debe cruzar el eje en algún punto intermedio.

**b) Obtenga los valores de $a$, $b$ y $c$ que hacen que $f(x) = ax^3 + bx^2 - 3x + c$ cumpla $f(0) = 1$ y tenga extremos relativos en $x = \pm 1$.** Empezamos utilizando la condición del valor de la función en el origen: $f(0) = 1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de la función: $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 - 3(0) + c = 1$$ $$0 + 0 - 0 + c = 1$$ $$\boxed{c = 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable empezar por los datos que nos dan directamente el valor de la función o de sus derivadas en puntos concretos para simplificar la expresión desde el inicio.

Para hallar $a$ y $b$, utilizamos la información sobre los extremos relativos. Un extremo relativo ocurre en puntos donde la primera derivada es cero ($f'(x) = 0$). Primero, calculamos la derivada general de $f(x) = ax^3 + bx^2 - 3x + c$: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx - 3$$ Como sabemos que tiene extremos en $x = 1$ y $x = -1$, se deben cumplir las siguientes ecuaciones: 1. $f'(1) = 0 \implies 3a(1)^2 + 2b(1) - 3 = 0 \implies 3a + 2b = 3$ 2. $f'(-1) = 0 \implies 3a(-1)^2 + 2b(-1) - 3 = 0 \implies 3a - 2b = 3$ Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolvemos el sistema por el método de reducción sumando ambas ecuaciones: $$(3a + 2b) + (3a - 2b) = 3 + 3$$ $$6a = 6 \implies \boxed{a = 1}$$ Ahora, sustituimos $a = 1$ en cualquiera de las ecuaciones originales (por ejemplo, en la primera): $$3(1) + 2b = 3$$ $$3 + 2b = 3$$ $$2b = 0 \implies \boxed{b = 0}$$ Por lo tanto, la función es: **$f(x) = x^3 - 3x + 1$**.

**Decir luego si los extremos son máximos o mínimos.** Para clasificar los extremos relativos, podemos utilizar el criterio de la segunda derivada. Calculamos $f''(x)$ a partir de $f'(x) = 3x^2 - 3$: $$f''(x) = 6x$$ Evaluamos en los puntos críticos $x = 1$ y $x = -1$: - Para $x = 1$: $f''(1) = 6(1) = 6 > 0$. Al ser positiva, en $x = 1$ hay un **mínimo relativo**. - Para $x = -1$: $f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. Al ser negativa, en $x = -1$ hay un **máximo relativo**. También podemos ver el cambio de signo de la derivada en la tabla: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a=1, b=0, c=1. \text{ Máximo en } x=-1, \text{ Mínimo en } x=1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(x) > 0$ es un mínimo (forma de valle $\cup$) y si $f''(x) < 0$ es un máximo (forma de montaña $\cap$).