Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\begin{cases} mx + y + z = 2m, \\ mx + (m + 1)y + z = 1, \\ mx + (m + 1)y + 2z = m + 1. \end{cases}$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ m & m+1 & 1 \\ m & m+1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 1 & 1 & 2m \\ m & m+1 & 1 & 1 \\ m & m+1 & 2 & m+1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, que relaciona los rangos de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $m$ el rango de $A$ es máximo (3). $$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & 1 \\ m & m+1 & 1 \\ m & m+1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [m \cdot (m+1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot m + 1 \cdot m \cdot (m+1)] - [1 \cdot (m+1) \cdot m + (m+1) \cdot 1 \cdot m + 2 \cdot m \cdot 1]$$ $$|A| = (2m^2 + 2m + m + m^2 + m) - (m^2 + m + m^2 + m + 2m)$$ $$|A| = (3m^2 + 4m) - (2m^2 + 4m) = m^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 = 0 \implies m = 0$$ 💡 **Tip:** También se podría haber simplificado restando filas, por ejemplo $F_3 - F_2$, lo que facilita mucho el cálculo del determinante al aparecer ceros.

Si **$m \neq 0$**: - El determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). - Por tanto, el rango de $A$ es 3: $\text{rg}(A) = 3$. - Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo es 3, por lo que $\text{rg}(A^*) = 3$. - El número de incógnitas es $n=3$. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, al cumplirse $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si **$m = 0$**, sustituimos el valor en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ **Rango de $A$:** Observamos que la primera columna es de ceros. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Rango de $A^*$:** Tomamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes (la 4ª columna): $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1 + 0) - (0 + 2 + 1) = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es incompatible. 💡 **Tip:** Si te fijas en las dos primeras ecuaciones con $m=0$, tenemos $y+z=0$ y $y+z=1$, lo cual es una contradicción evidente que confirma que no hay solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Resumiendo la discusión del sistema según los valores del parámetro $m$: - Si **$m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$**, el sistema es **Compatible Determinado**. Tiene una solución única. - Si **$m = 0$**, el sistema es **Incompatible**. No tiene solución. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ m = 0: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$